Question

What is the maximum value of 10cos^2x -6sinxcosx +2sin^2x

Answer 1

f(x)=2−4sin2(x)+4sin(x)f(x)=2−4sin2⁡(x)+4sin⁡(x). Let t=sin(x)t=sin⁡(x). Then 0<t≤10<t≤1. We have a new function:

g(t)=−4t2+4t+2

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \(10\cos^2x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2x\) более подробно.

Обозначим \(a = \cos x\) и \(b = \sin x\), тогда:

\[10\cos^2x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2x = 10a^2 - 6ab + 2b^2.\]

Теперь попробуем выразить это выражение в квадратном виде. Заметим, что:

\[10a^2 - 6ab + 2b^2 = (2a - 3b)^2 + (a + b)^2.\]

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде суммы двух квадратов. Чтобы получить максимальное значение, необходимо минимизировать выражение \((a + b)^2\), которое является квадратом суммы \(a\) и \(b\).

Минимальное значение для квадрата суммы \(a\) и \(b\) равно 0 и достигается тогда, когда \(a = -b\). Это происходит, когда \(\sin x = -\cos x\), или, иначе говоря, когда \(\tan x = -1\).

Таким образом, максимальное значение выражения \(10\cos^2x - 6\sin x \cos x + 2\sin^2x\) равно \((2a - 3b)^2\) при условии \(\tan x = -1\).