Question

Решить интеграл (1+2√х)dx

Answer 1

$\int(1+2\sqrt x)dx=\int(1+2x^{\frac12})dx=x+\frac43x^{\frac32}+C=x+\frac43x\sqrt{x}+C$

Answer 2

Конечно, интеграл \(\int (1 + 2\sqrt{x}) \, dx\) можно решить.

Для того чтобы решить этот интеграл, мы можем разложить его на два отдельных интеграла и затем проинтегрировать их по отдельности.

\[\int (1 + 2\sqrt{x}) \, dx = \int 1 \, dx + \int 2\sqrt{x} \, dx\]

Теперь проинтегрируем каждый из этих интегралов:

1. \(\int 1 \, dx = x + C_1\), где \(C_1\) - постоянная интеграции.

2. Для \(\int 2\sqrt{x} \, dx\), используем замену переменной, где \(u = \sqrt{x}\), тогда \(du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx\) или \(2\sqrt{x} \, dx = 2u \, du\). Теперь интеграл выглядит как \(\int 2u \, du\), который легко интегрируется:

\[\int 2\sqrt{x} \, dx = \int 2u \, du = u^2 + C_2 = (\sqrt{x})^2 + C_2 = x + C_2\]

Где \(C_2\) - постоянная интеграции.

Собирая все вместе, получаем:

\[\int (1 + 2\sqrt{x}) \, dx = x + (x + C_2) = 2x + C\]

Где \(C\) - константа интегрирования, объединяющая постоянные \(C_1\) и \(C_2\).

Таким образом, окончательный ответ на интеграл \(\int (1 + 2\sqrt{x}) \, dx\) равен \(2x + C\), где \(C\) - произвольная константа.