Question

Составьте уравнение касательной к графику функции f (x )=√3-x в точке с абциссой x 0 =-1

Answer 1

Применен общий вид уравнения касательной

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно использовать определение производной. Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.

Итак, дана функция \( f(x) = \sqrt{3 - x} \) и точка касания касательной с абсциссой \( x_0 = -1 \). Давайте найдем производную функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{3 - x}) \]

Используем правило цепочки (chain rule):

\[ f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) \]

\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \]

Теперь подставим \( x = -1 \) в \( f'(x) \), чтобы получить угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = -1 \):

\[ f'(-1) = \frac{1}{2\sqrt{3 - (-1)}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \( x_0 = -1 \) равен \( \frac{1}{4} \).

Теперь мы можем использовать уравнение касательной в форме \( y - y_0 = m(x - x_0) \), где \( m \) - угловой коэффициент, \( (x_0, y_0) \) - координаты точки касания.

Подставим значения:

\[ y - f(-1) = \frac{1}{4}(x - (-1)) \]

Теперь найдем значение \( f(-1) \):

\[ f(-1) = \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{4} = 2 \]

Подставим это значение в уравнение касательной:

\[ y - 2 = \frac{1}{4}(x + 1) \]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sqrt{3 - x} \) в точке с абсциссой \( x_0 = -1 \) равно:

\[ y = \frac{1}{4}(x + 1) + 2 \]