Question

Интеграл (x^2+7)cos10xdx

Answer 1

Интеграл берется дважды по-частям. Можешь сделать проверку: продифференцировать результат, и должно получиться подынтегральное выражение. Решение на листочке прикрепленном.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Интеграл ∫(x^2+7)cos(10x)dx

Для начала, выберем u = (x^2+7) и dv = cos(10x)dx. Тогда, du = 2xdx и v = (1/10)sin(10x).

Применяя формулу интегрирования по частям ∫udv = uv - ∫vdu, получаем:

∫(x^2+7)cos(10x)dx = (x^2+7)(1/10)sin(10x) - ∫(1/10)sin(10x)2xdx

Теперь мы можем решить оставшийся интеграл ∫(1/10)sin(10x)2xdx.

Для этого, выберем u = 2x и dv = (1/10)sin(10x)dx. Тогда, du = 2dx и v = (-1/100)cos(10x).

Применяя формулу интегрирования по частям еще раз, получаем:

∫(1/10)sin(10x)2xdx = (-1/100)cos(10x)2x - ∫(-1/100)cos(10x)2dx

Теперь мы можем решить оставшийся интеграл ∫(-1/100)cos(10x)2dx.

Для этого, мы можем использовать формулу двойного угла cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1.

Интеграл становится:

∫(-1/100)cos(10x)2dx = ∫(-1/100)(2cos^2(10x) - 1)dx

Раскрывая скобки и интегрируя каждый член по отдельности, получаем:

= (-1/100)[(1/2)sin(20x) - x] + C

Где C - постоянная интегрирования.

Итак, окончательное решение интеграла ∫(x^2+7)cos(10x)dx равно:

(x^2+7)(1/10)sin(10x) - (1/100)[(1/2)sin(20x) - x] + C