Question

При каком значении b сумма кубов корней квадратного уравнения (3b – 1)х^2 + (3b-1)x + b^2 = 0 равна -1?

Answer 1

Решаем уравнение:
x^2+(m-2)x-(m+3)=0
D = (m-2)^2 + 4(m+3) = m^2-4m+4+4m+12 = m^2 +16
x1 = [2-m + V(m^2 +16)] / 2, x2 = [2-m - V(m^2 +16)] / 2
Сумма квадратов корней:
x1^2+x2^2 = ([2-m + V(m^2 +16)]^2 + [2-m - V(m^2 +16)]^2) / 4 =
= [(2-m)^2 + 2*(2-m)*V(m^2 +16) + (m^2 +16) + (2-m)^2 - 2*(2-m)*V(m^2 +16) + (m^2 +16)] / 4 =
= [2*(2-m)^2 + 2*(m^2 +16)] / 4 = [(2-m)^2 + (m^2 +16)] / 2 = (4-4m+m^2+m^2+16) / 2 =
= (2m^2-4m+20) / 2 = m^2-2m+10.
Нам надо, чтобы эта сумма была минимальной. График квадратного уравнения - парабола, минимум которой находится в вершине, то есть в точке, где m = -b/2a = 2/2 = 1. Сама сумма равна S = 1-2+10 = 9.
Ответ: S = 9 при m = 1.

Answer 2

Для решения данного квадратного уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения.

В данном случае, у нас есть уравнение (3b – 1)x^2 + (3b - 1)x + b^2 = 0. Мы можем сравнить его с общим видом квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 и найти соответствующие коэффициенты.

Сравнивая коэффициенты, мы получаем: a = 3b - 1 b = 3b - 1 c = b^2

Теперь мы можем вычислить дискриминант по формуле D = b^2 - 4ac.

По условию задачи, сумма кубов корней этого уравнения равна -1. То есть, если корни уравнения равны x1 и x2, то мы имеем следующее равенство: x1^3 + x2^3 = -1.

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу суммы кубов корней квадратного уравнения. Формула выглядит следующим образом: x1^3 + x2^3 = (x1 + x2)(x1^2 - x1x2 + x2^2).

Теперь, используя формулу дискриминанта и формулу суммы кубов корней, мы можем составить уравнение и решить его.

Решение:

1. Вычисляем коэффициенты a, b и c: - a = 3b - 1 - b = 3b - 1 - c = b^2

2. Вычисляем дискриминант: - D = b^2 - 4ac

3. Решаем уравнение: - Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня. - Если D = 0, то уравнение имеет один корень. - Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

4. Подставляем найденные корни в формулу суммы кубов корней и проверяем, равна ли сумма -1.

Теперь давайте приступим к вычислениям.