Question

Помогите решить триг. Уравнения 1)8 Cos^2 x - 14 Sin x + 1 = 0 2)Sin^2 x - 5Cos^2 x = 2Sin 2x

Answer 1

1) 8(1-sin^2x)-14sinx+1=0
8-8sin^2x-14sinx+1=0
-8sin^2x-14sinx+9=0
Пусть t=sinx, где t€[-1;1], тогда,
-8t^2-14t+9=0
D=196+288=484
t1= -2,25 - посторонний корень
t2=-1/2
Вернёмся к замене:
sinx=-1/2
x1=-5Π/6+2Πn, n€Z
x2=-Π/6+2Πn, n€Z

Answer 2

Конечно, давайте пошагово решим каждое уравнение.

Уравнение 1:

\[8\cos^2(x) - 14\sin(x) + 1 = 0\]

Первым шагом давайте попробуем выразить \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\), используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\). Из этого тождества можно выразить \(\sin(x)\):

\[\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}\]

Теперь подставим это в уравнение:

\[8\cos^2(x) - 14\sqrt{1 - \cos^2(x)} + 1 = 0\]

Давайте предположим, что \(\cos(x) = t\). Тогда уравнение примет вид:

\[8t^2 - 14\sqrt{1 - t^2} + 1 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно \(t\).

Уравнение 2:

\[\sin^2(x) - 5\cos^2(x) = 2\sin(2x)\]

Используем тригонометрическое тождество \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) и заменим \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\):

\[\sin^2(x) - 5(1 - \sin^2(x)) = 2\sin(x) \cos(x)\]

Раскроем скобки:

\[\sin^2(x) - 5 + 5\sin^2(x) = 2\sin(x) \cos(x)\]

Упростим уравнение:

\[6\sin^2(x) - 2\sin(x) \cos(x) - 5 = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения относительно \(t\) и \(x\), которые мы можем решить численными методами или методами аналитического решения, если это возможно.