Question

Найти промежутки монотонности функции y=tg^2*x

Answer 1

Берем производную. Если производная положительна - функция возрастает, если отрицательна - убывает. Если производная равна нулю, это точка перегиба.
f(x) = tg²(x)
f'(x)  = 2 tg(x) * (tg(x))' = 2 sin(x) ÷ cos³(x)
Далее, методом интервалов.
Ищем корни f'(x) = 0
sin(x) = 0
Корни: x = πk, k - целое 
Осталось определить знаки. В первой четверти и синус, и косинус положительны. В третьей четверти и синус, и косинус отрицательны.Значит в точках из промежутка [ 0+πk ; π/2 + πk ] функция возрастает. Иначе убывает.

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности функции y = tg^2(x), сначала найдем производную этой функции.

Производная функции y = tg^2(x) может быть найдена с использованием цепного правила дифференцирования. Обозначим z = tg(x), тогда y = z^2.

Производная z = tg(x) равна z' = (1/cos^2(x)).

Теперь найдем производную y = z^2, используя цепное правило:

y' = 2z * z' = 2tg(x) * (1/cos^2(x)) = 2tg(x)/cos^2(x).

Для определения промежутков монотонности функции y = tg^2(x) нужно найти значения x, при которых производная y' = 0, а также значениях x, при которых производная не существует.

Выражение 2tg(x)/cos^2(x) будет равно 0, когда tg(x) = 0. Это происходит, когда x = kπ, где k - целое число.

Теперь найдем значениях x, при которых производная не существует. Производная не существует, когда cos^2(x) = 0. Это происходит, когда x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

Таким образом, промежутки монотонности функции y = tg^2(x) будут следующими:

1) Функция y = tg^2(x) возрастает на промежутках (kπ, (2k + 1)π/2), где k - целое число. 2) Функция y = tg^2(x) убывает на промежутках ((2k + 1)π/2, (k+1)π), где k - целое число.

На этих промежутках функция y = tg^2(x) будет монотонной. За пределами этих промежутков функция может иметь различные значения и не будет монотонной.