Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:y"+2y'+y=3x^2+2

Answer 1

$y''+2y'+y=0 \\ y=e^{kx} \\ k^2e^{kx}+2ke^{kx}+e^{kx}=0 \\ e^{kx}(k^2+2k+1)=0 \\ k^2+2k+1=0 \\ (k+1)^2=0 \\ y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x} \\\\ y^*=Ax^2+Bx+C\\ y'^{*}=2Ax+B \\ y''^*=2A \\\\ 2A+2*(2Ax+B)+Ax^2+Bx+C=3x^2+2 \\ Ax^2=3x^2; A=3 \\ 4Ax+Bx=0x;4A+B=0; 12+B=0; B=-12 \\2A+2B+C=2; 6-24+C=2; C=20 \\\\ y^*=3x^2-12x+20 \\\\ Y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+3x^2-12x+20$

Answer 2

Давайте найдем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Уравнение имеет вид:

\[y'' + 2y' + y = 3x^2 + 2.\]

Для начала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается при равенстве правой части нулю:

\[y'' + 2y' + y = 0.\]

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:

\[r^2 + 2r + 1 = 0.\]

Решив это квадратное уравнение, мы получаем один корень \(r = -1\) с кратностью два. Общее решение однородного уравнения будет выглядеть следующим образом:

\[y_h(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x},\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. В данном случае, правая часть уравнения - это \(3x^2 + 2\), и мы ищем частное решение в виде многочлена второй степени. Так как у нас уже есть член \(x e^{-x}\) в общем решении однородного уравнения, мы предполагаем, что частное решение имеет вид:

\[y_p(x) = Ax^2 + Bx + C,\]

где \(A\), \(B\), и \(C\) - неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить.

Теперь вычислим производные \(y_p(x)\):

\[y_p'(x) = 2Ax + B, \] \[y_p''(x) = 2A.\]

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[2A + 2(2Ax + B) + (Ax^2 + Bx + C) = 3x^2 + 2.\]

Собрав все члены, получим:

\[Ax^2 + (4A + B)x + (2A + 2B + C) = 3x^2 + 2.\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \(x\), получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} A = 3 \\ 4A + B = 0 \\ 2A + 2B + C = 2 \end{cases}\]

Решая эту систему, мы находим \(A = 3\), \(B = -12\), и \(C = 16\).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:

\[y_p(x) = 3x^2 - 12x + 16.\]

Теперь общее решение неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного и частного решения:

\[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x} + 3x^2 - 12x + 16.\]

Где \(c_1\) и \(c_2\) - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если таковые имеются.