Question

Помогите пожалуйста решить 1. А(2;3;0) В(1;5;0). Найти длину вектора AB 2.Точка М – середина отрезка AB. Найти координаты точки А, если М (-6;2;0), В (3;-2;4). 3. При каких значениях m длина вектора A{3;m;4} не превышает 10? 4. При каких значениях k и m векторы А{4;-4;m}и B{2;k;1} коллинеарны?

Answer 1

A(14; -8)
M(3; -2)
B(x; y)
          
 6=14+x
x=6-14
x=-8

 
-4=-8+y
y=8-4
y=4
значит координаты точки B x=-8, y=4  B(-8; 4)

Answer 2

1. Найти длину вектора AB: Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B:

\[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \] \[ \vec{AB} = (1-2, 5-3, 0-0) = (-1, 2, 0) \]

Длина вектора AB вычисляется по формуле: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} \]

2. Найти координаты точки A, если М - середина отрезка AB: Координаты точки М - это среднее арифметическое соответствующих координат точек A и B:

\[ M_x = \frac{A_x + B_x}{2} \] \[ M_y = \frac{A_y + B_y}{2} \] \[ M_z = \frac{A_z + B_z}{2} \]

Подставляем известные значения и решаем систему уравнений: \[ -6 = \frac{A_x + 3}{2} \] \[ 2 = \frac{A_y - 2}{2} \] \[ 0 = \frac{A_z + 4}{2} \]

Решение этой системы даст координаты точки A.

3. Длина вектора A{3, m, 4} не превышает 10: Длина вектора вычисляется по формуле: \[ |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + m^2 + 4^2} \] Условие \(\sqrt{3^2 + m^2 + 4^2} \leq 10\) приводит к квадратному неравенству, которое решается для определения допустимых значений m.

4. Векторы A{4, -4, m} и B{2, k, 1} коллинеарны: Векторы коллинеарны, если они пропорциональны. Таким образом, мы можем записать отношение соответствующих координат и приравнять их: \[ \frac{4}{2} = \frac{-4}{k} = \frac{m}{1} \] Решение этой системы даст допустимые значения k и m для коллинеарности векторов.