Question

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=10 и BC=6. Известно, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Продолжения боковых углов пересекаются под прямым углом. Следовательно, образуются 2 прямоугольных равнобедренных треугольника (гипотенузой меньшего является меньшее основание, большего - большее основание). Площадь трапеции равна разности площадей большего и меньшего треугольников.
Площади этих треугольников будут равны одной четверти от квадрата длины гипотенузы: AD²/4 =10²/4=25 ; BC²/4=6²/4=9
⇒Площадь трапеции: 25-9=16

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции.

Пусть E и F - точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции ABCD.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то мы знаем, что углы при основаниях AD и BC равны. Пусть это углов A и B.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и BCF. У них углы при вершине равны (углы A и B), углы при основании AD и BC также равны, так как это основания равнобедренной трапеции. Следовательно, по угловой теореме эти треугольники подобны.

Мы знаем, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом. Таким образом, угол EDF прямой.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ADE и DEF. Так как угол EDF прямой, то углы ADE и DEF дополнительны друг к другу до 180 градусов. Таким образом, углы ADE и DEF равны между собой.

Теперь у нас есть два подобных треугольника с равными углами при вершине, следовательно, они подобны соответственно. Это значит, что соотношение сторон в этих треугольниках одинаково.

Пусть h - высота трапеции (расстояние между основаниями). Тогда:

\(\frac{AD}{DE} = \frac{BC}{CF} = \frac{h}{EF}\)

Мы знаем, что AD = 10 и BC = 6, поэтому:

\(\frac{10}{DE} = \frac{6}{CF} = \frac{h}{EF}\)

Теперь рассмотрим треугольник DEF. Мы знаем, что EF - это высота треугольника DEF относительно гипотенузы DF. По теореме Пифагора:

\(EF^2 + DF^2 = DE^2\)

Так как у нас есть подобие треугольников ADE и DEF, то соотношение сторон также выполняется:

\(\frac{10}{DE} = \frac{h}{EF}\)

Таким образом, мы можем выразить EF через h:

\(EF = \frac{h}{10} \times DE\)

Теперь можем подставить это выражение в уравнение Пифагора:

\(\left(\frac{h}{10} \times DE\right)^2 + DF^2 = DE^2\)

\(\frac{h^2}{100} \times DE^2 + DF^2 = DE^2\)

\(\frac{h^2}{100} \times DE^2 = DE^2 - DF^2\)

\(h^2 = 100 \times (DE^2 - DF^2)\)

Теперь выразим DF через h. Так как треугольник DEF прямоугольный, то DF - это высота треугольника DEF относительно гипотенузы DE. Следовательно:

\(DF = \frac{h}{10} \times DE\)

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение для площади трапеции:

\(S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times h\)

\(S = \frac{1}{2} \times (10 + 6) \times h\)

\(S = 8 \times h\)

Теперь выразим h через DE и подставим это выражение:

\(h = \sqrt{100 \times (DE^2 - DF^2)}\)

\(h = \sqrt{100 \times (DE^2 - \left(\frac{h}{10} \times DE\right)^2)}\)

\(h = \sqrt{100 \times DE^2 - 100 \times \left(\frac{h}{10}\right)^2 \times DE^2}\)

\(h = \sqrt{100 \times DE^2 - 100 \times \frac{h^2}{100} \times DE^2}\)

\(h = \sqrt{100 \times DE^2 - h^2 \times DE^2}\)

Теперь выразим DE через h:

\(h = \sqrt{100 \times DE^2 - h^2 \times DE^2}\)

\(h^2 = 100 \times DE^2 - h^2 \times DE^2\)

\(h^2 + h^2 \times DE^2 = 100 \times DE^2\)

\(h^2 \times (1 + DE^2) = 100 \times DE^2\)

\(h^2 = \frac{100 \times DE^2}{1 + DE^2}\)

Теперь можем подставить это выражение в формулу для площади:

\(S = 8 \times h\)

\(S = 8 \times \sqrt{\frac{100 \times DE^2}{1 + DE^2}}\)

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции можно выразить через одну из сторон (DE). В данном случае, для нахождения конкретного численного значения площади, нужно знать длину стороны DE.