Question

Докажите, что при любых значениях p выражение р^2-6р+20 принимает только положительные значения.

Answer 1

P²-6p+20=p²-6p+9+11=(p-3)²+11>0

(p-3)²≥0   11>0

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение \(p^2 - 6p + 20\) принимает только положительные значения для любых значений \(p\), давайте воспользуемся методом завершения квадратного трёхчлена.

Имеем выражение:

\[ p^2 - 6p + 20 \]

Для завершения квадратного трёхчлена добавим и вычтем половину коэффициента при \(p\) в квадрате:

\[ p^2 - 6p + 20 = \left(p - 3\right)^2 - 9 + 20 \]

Раскроем квадрат:

\[ \left(p - 3\right)^2 - 9 + 20 = p^2 - 6p + 9 - 9 + 20 = p^2 - 6p + 20 \]

Теперь видим, что исходное выражение можно представить в виде квадрата бинома \((p - 3)^2\) с добавлением положительного числа 11:

\[ p^2 - 6p + 20 = \left(p - 3\right)^2 + 11 \]

Таким образом, выражение \(p^2 - 6p + 20\) всегда равно квадрату числа \((p - 3)^2\) плюс 11. Поскольку квадрат числа всегда неотрицателен, и при этом к нему добавляется положительное число 11, исходное выражение \(p^2 - 6p + 20\) также всегда будет положительным.

Таким образом, мы доказали, что при любых значениях \(p\) выражение \(p^2 - 6p + 20\) принимает только положительные значения.