Question

Вася придумал общие свойства делимости: "Если все числа делятся на данное число, то их сумма тоже делится на это число" Прав ли Вася?

Answer 1

Я думаю, что прав
возьмём числа х, 2х и 3х. все они делятся на х
если мы сложим числа, т.е. х+2х+3х=6х. 6х делится на х.
вместо х можно подставить любое число, и получится верное равенство
проверь сам ;)

Answer 2

Предложенное Васей утверждение не всегда верно. Рассмотрим это подробнее.

Если Вася имеет в виду, что если все числа в каком-то наборе делятся на данное число, то их сумма также делится на это число, то это утверждение верно. Давайте обозначим данное число как \(d\), а числа в наборе как \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Если для каждого \(i\) выполняется условие \(a_i \mod d = 0\) (то есть, если каждое число делится на \(d\) без остатка), то сумма чисел в наборе тоже будет делиться на \(d\).

Математически это можно записать как:

\[a_1 \mod d = a_2 \mod d = \ldots = a_n \mod d = 0 \implies (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \mod d = 0.\]

Однако, если Вася имеет в виду, что для любых чисел, не обязательно входящих в некоторый фиксированный набор, если они делятся на \(d\), то их сумма также делится на \(d\), то это утверждение неверно. Например, рассмотрим числа 3 и 5. Они оба делятся на 5, но их сумма (8) не делится на 5 без остатка.

Таким образом, верность утверждения зависит от того, как именно Вася формулирует свою мысль.