Question

Решить интеграл (sqrt((e^x)-1))dx

Answer 1

**********************

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте рассмотрим подробнее каждый шаг.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте введем новую переменную замены. Обычно, для подобных случаев, выбираются переменные, которые помогут упростить интеграл. В данном случае, выберем переменную замены u = sqrt(e^x - 1). Теперь найдем производную от u по x, чтобы выразить dx через du.

Выразим x через u: e^x - 1 = u^2 e^x = u^2 + 1 x = ln(u^2 + 1)

Теперь найдем производную от u по x: du/dx = d(sqrt(e^x - 1))/dx du/dx = (1/2) * (e^x - 1)^(-1/2) * d(e^x - 1)/dx du/dx = (1/2) * (e^x - 1)^(-1/2) * e^x du/dx = (1/2) * (u^2 + 1)^(-1/2) * (u^2 + 1)

Теперь мы можем выразить dx через du: dx = (2 * (u^2 + 1)^(-1/2))/(u^2 + 1) du dx = 2/(u^2 + 1) du

Шаг 2: Подстановка в интеграл

Теперь, заменим переменные в исходном интеграле и упростим его:

∫(sqrt(e^x - 1)) dx = ∫(sqrt(u^2)) * (2/(u^2 + 1)) du ∫(sqrt(e^x - 1)) dx = 2∫(u/(u^2 + 1)) du

Шаг 3: Разложение на простые дроби

Для интегрирования функции u/(u^2 + 1), мы можем воспользоваться методом разложения на простые дроби. Разложим функцию на две дроби вида A/(u + 1) + B/(u - 1). Найдем значения коэффициентов A и B:

u = -1: -1/(2) = A/(-1 + 1) A = -1/2

u = 1: 1/(2) = B/(1 + 1) B = 1/2

Теперь мы можем записать интеграл в виде:

2∫(u/(u^2 + 1)) du = 2 * (∫(-1/2)/(u + 1) du + ∫(1/2)/(u - 1) du)

Шаг 4: Интегрирование

Мы можем интегрировать каждую дробь по отдельности:

∫(-1/2)/(u + 1) du = (-1/2) * ln|u + 1| ∫(1/2)/(u - 1) du = (1/2) * ln|u - 1|

Теперь, подставим обратно значения переменной замены:

∫(sqrt(e^x - 1)) dx = 2 * ((-1/2) * ln|u + 1| + (1/2) * ln|u - 1|) ∫(sqrt(e^x - 1)) dx = -ln|u + 1| + ln|u - 1|

Шаг 5: Возвращаемся к исходной переменной

Теперь, вернемся к исходной переменной x:

∫(sqrt(e^x - 1)) dx = -ln|sqrt(e^x - 1) + 1| + ln|sqrt(e^x - 1) - 1|

И это окончательный ответ на данный интеграл.