Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-4, x=-1, x=2, y=0

Answer 1

$\int\limits^2_{-1} {x^2-4} \, dx = \frac{x^3}3 - 4x = \frac83 - 8 + \frac13 - 4 = -9$ Ответ 9, так как график функции лежит ниже оси Ох

Answer 2

Конечно, рассчитаем площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = x^2 - 4\), прямыми \(x = -1\), \(x = 2\) и осью \(x\).

Сначала определим точки пересечения функции \(y = x^2 - 4\) с прямыми \(x = -1\) и \(x = 2\).

Когда \(x = -1\): \[y = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3\] Точка пересечения: \((-1, -3)\)

Когда \(x = 2\): \[y = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0\] Точка пересечения: \((2, 0)\)

Теперь находим точку пересечения с осью \(x\) для того, чтобы найти интервал \(x\)-ов между -1 и 2, на котором график функции \(y = x^2 - 4\) находится выше оси \(x\).

\[x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\]

Функция проходит через точки \((-2, 0)\) и \((2, 0)\). Таким образом, интервал между -1 и 2, на котором \(y = x^2 - 4\) находится выше оси \(x\), это от -1 до 2.

Теперь рассчитаем интеграл для нахождения площади под кривой. Площадь под кривой \(y = x^2 - 4\) на интервале от -1 до 2 равна интегралу от функции \(y = x^2 - 4\) по оси \(x\) на этом интервале:

\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 4) \, dx \]

Вычислим этот интеграл:

\[\int_{-1}^{2} (x^2 - 4) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - 4 \cdot (-1)\right)\] \[\left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{1}{3} + 4\right) = \left(\frac{8}{3} - \frac{24}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{12}{3}\right)\] \[\left(\frac{-16}{3}\right) - \left(\frac{11}{3}\right) = -\frac{27}{3} = -9\]

Поэтому площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = x^2 - 4\), прямыми \(x = -1\), \(x = 2\) и осью \(x\), равна \(9\) квадратным единицам.

Answer 3

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-4, x=-1, x=2, y=0, нужно найти интеграл функции y=x^2-4 на отрезке [-1, 2]. Это можно сделать по формуле Ньютона-Лейбница, которая гласит, что интеграл равен разности первообразной функции на концах отрезка. Первообразная функции y=x^2-4 это F(x)=x^3/3-4x+C, где C - произвольная константа. Тогда интеграл равен F(2)-F(-1), то есть:

$$\int_{-1}^{2} (x^2-4) dx = \frac{2^3}{3}-4\cdot 2 - \left(\frac{(-1)^3}{3}-4\cdot (-1)\right) = \frac{8}{3}-8+\frac{1}{3}+4 = \frac{9}{3}-4 = 3-4 = -1$$

Отрицательный знак интеграла означает, что площадь фигуры находится под осью абсцисс. Поэтому, чтобы получить положительное значение площади, нужно взять модуль от интеграла. Таким образом, площадь фигуры равна 1 кв. ед.

Вы можете посмотреть график фигуры и проверить ответ на одном из сайтов, которые я нашел для вас:

- [Калькулятор площади фигуры, ограниченной линиями](https://allcalc.ru/node/673) - [Найти площадь фигуры, ограниченной линиями онлайн](https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/area/) - [Площадь фигуры, ограниченной линиями с примерами решения](https://natalibrilenova.ru/ploschad-figuryi-ogranichennoj-liniyami/) - [Вопрос и ответ по теме площади фигуры](https://www.liveexpert.org/topic/view/2181807-vichislite-ploshad-figuri-ogranichennoj-liniyami-y-1-x-2-y-0-s-grafikom)