Question

Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а довжина діагоналі 13 см, знайти сторони подібного йому прямокутника, якщо його перметр дорівнює 136см.

Answer 1

Решение смотри во вложении:

Answer 2

Давайте обозначим стороны первого прямоугольника через \( a \) и \( b \), где \( a \) - это длина, а \( b \) - ширина. По условию задачи у нас есть две информации:

1. Периметр первого прямоугольника равен 34 см: \[ 2a + 2b = 34 \]

2. Длина диагонали первого прямоугольника равна 13 см: \[ a^2 + b^2 = 13^2 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Давайте решим ее.

1. Решим первое уравнение относительно одной из переменных, например, относительно \( a \): \[ 2a + 2b = 34 \] \[ 2a = 34 - 2b \] \[ a = 17 - b \]

2. Подставим это выражение для \( a \) во второе уравнение: \[ (17 - b)^2 + b^2 = 13^2 \] \[ 289 - 34b + b^2 + b^2 = 169 \] \[ 2b^2 - 34b + 120 = 0 \]

3. Решим полученное квадратное уравнение. Поделим обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение: \[ b^2 - 17b + 60 = 0 \]

Теперь факторизуем это уравнение: \[ (b - 5)(b - 12) = 0 \]

Из этого уравнения мы получаем два значения для \( b \): \( b = 5 \) и \( b = 12 \).

4. Теперь найдем соответствующие значения для \( a \) с использованием выражения \( a = 17 - b \): - Для \( b = 5 \): \( a = 17 - 5 = 12 \) - Для \( b = 12 \): \( a = 17 - 12 = 5 \)

Таким образом, у нас есть две пары значений для сторон первого прямоугольника: \( a = 12, b = 5 \) и \( a = 5, b = 12 \).

Теперь, когда у нас есть стороны первого прямоугольника, мы можем найти подобный прямоугольник с периметром 136 см. Подобные прямоугольники имеют пропорциональные стороны.

Пусть стороны второго прямоугольника обозначаются \( k \cdot a \) и \( k \cdot b \), где \( k \) - коэффициент подобия. Тогда периметр второго прямоугольника будет: \[ 2(k \cdot a) + 2(k \cdot b) = 136 \]

Разделим обе стороны на 2: \[ k \cdot a + k \cdot b = 68 \]

Подставим значения \( a \) и \( b \) из первого прямоугольника: \[ k \cdot 12 + k \cdot 5 = 68 \]

Факторизуем выражение: \[ k \cdot (12 + 5) = 68 \] \[ k \cdot 17 = 68 \] \[ k = \frac{68}{17} = 4 \]

Таким образом, коэффициент подобия \( k \) равен 4. Теперь мы можем найти стороны второго прямоугольника: \[ \text{Длина второго прямоугольника} = k \cdot a = 4 \cdot 12 = 48 \] \[ \text{Ширина второго прямоугольника} = k \cdot b = 4 \cdot 5 = 20 \]

Таким образом, стороны подобного прямоугольника равны 48 см и 20 см.