Question

решите тригонометрическое уравнение соs2х-соsх=0

Answer 1

$\cos2x-\cos x=0\\ \cos2x=2\cos^2x-1\\ 2\cos^2x-1-\cos x=0\\ 2\cos^2x-\cos x-1=0\\ \cos x=t,\;\;\cos^2x=t^2,\;\;t\in[-1;1]\\ 2t^2-t-1=0\\ D=1+4\cdot8=9\\ t_1=1\\ t_2=-\frac12\\ \cos x=1\Rightarrow x=2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}\\ \cos x=-\frac12\Rightarrow x=\frac{2\pi}3+2\pi n,\;n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

cos2x - cosx = 0
cos^2 x - sin^2 x - cosx = 0
cos^2 x - (1 - sin^2 x) - cosx = 0
2cos^2 x-1 - cosx = 0
cosx*(2cos x - 1)= 1
cos x = 1
x= 2*пи*n

Answer 3

Для решения уравнения \(\cos(2x) - \cos(x) = 0\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Уравнение выглядит следующим образом: \[ \cos(2x) - \cos(x) = 0 \]

Мы можем использовать тригонометрическое тождество \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Заменим \(\cos(2x)\) в уравнении: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) = 0 \]

Теперь приведем подобные слагаемые и приведем уравнение к квадратному виду: \[ 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Давайте решим его с помощью квадратного уравнения. Для удобства представим уравнение в виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -1\).

Решение квадратного уравнения выглядит так: \[ \cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения и решим: \[ \cos(x) = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \]

\[ \cos(x) = \frac{1 \pm 3}{4} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(\cos(x)\): 1. \(\cos(x) = \frac{1 + 3}{4} = 1\) 2. \(\cos(x) = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\)

Теперь найдем соответствующие значения \(x\). Для \(\cos(x) = 1\), угол \(x\) равен \(0\) (так как \(\cos(0) = 1\)), и для \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) угол \(x\) равен \(120^\circ\) или \(2\pi/3\) (так как \(\cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2}\)).

Таким образом, решения уравнения \(\cos(2x) - \cos(x) = 0\) это \(x = 0\) и \(x = \frac{2\pi}{3}\).