Question

Решить уравнение 2x16^x-7x4^x -4=0

Answer 1

4^x=a
2a²-7a-4=0
D=49+32=81
a1=(7-9)/4=-1/2⇒4^x=-1/2-нет решения
a2=(7+9)/4=4⇒4^x=4⇒x=1

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Приведение подобных слагаемых Уравнение 2x16^x - 7x4^x - 4 = 0 содержит два слагаемых, содержащих основания 16 и 4. Для того чтобы привести их к одному основанию, воспользуемся свойством степени: a^x * a^y = a^(x+y). Таким образом, мы можем записать 16^x как (2^4)^x = 2^(4x) и 4^x как (2^2)^x = 2^(2x). Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2x * 2^(4x) - 7x * 2^(2x) - 4 = 0

Шаг 2: Введение замены Давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим 2^x как t. Тогда t^2 = (2^x)^2 = 2^(2x) и t^4 = (2^x)^4 = 2^(4x). Заменим переменные и перепишем уравнение:

2t^4 - 7t^2 - 4 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь у нас имеется квадратное уравнение 2t^4 - 7t^2 - 4 = 0. Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться методом подстановки или методом факторизации. Однако, в данном случае, нам будет удобно воспользоваться заменой: введем новую переменную t^2 = u. Тогда уравнение примет вид:

2u^2 - 7u - 4 = 0

Мы получили квадратное уравнение с переменной u.

Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить квадратное уравнение 2u^2 - 7u - 4 = 0. Для этого, давайте воспользуемся факторизацией или квадратным корнем.

Факторизация: 2u^2 - 7u - 4 = 0 (2u + 1)(u - 4) = 0

Из этого получаем два линейных уравнения: 2u + 1 = 0 или u - 4 = 0

Решая каждое из этих уравнений, мы получаем следующие значения: u = -1/2 или u = 4

Шаг 5: Подстановка обратной замены Теперь, чтобы найти значения переменной t, мы подставляем значения u обратно в уравнение t^2 = u:

Для u = -1/2: t^2 = -1/2 t = sqrt(-1/2) (корень из -1/2)

Для u = 4: t^2 = 4 t = sqrt(4) (корень из 4)

Шаг 6: Подстановка обратной замены Наконец, чтобы найти значения переменной x, мы подставляем значения t обратно в уравнение 2^x = t:

Для t = sqrt(-1/2): 2^x = sqrt(-1/2) x = log2(sqrt(-1/2)) (логарифм по основанию 2 от sqrt(-1/2))

Для t = sqrt(4): 2^x = sqrt(4) x = log2(sqrt(4)) (логарифм по основанию 2 от sqrt(4))

Решение данного уравнения требует использования комплексных чисел и логарифмов. Для получения численных значений, необходимо выполнить дополнительные вычисления.