Question

Какое наименьшее число при делении на 3,7, 5 дает остаток 2

Answer 1

На 3 это 6,на 7-14,на 5-10

Answer 2

Чтобы найти наименьшее число, которое при делении на 3, 7 и 5 даёт остаток 2, мы можем воспользоваться китайской теоремой об остатках. Эта теорема утверждает, что если даны три числа m1, m2 и m3, и их взаимно простые попарно (то есть не имеют общих делителей, кроме 1), и даны три остатка r1, r2 и r3, то существует единственное целое число x, такое что:

\[x \equiv r_1 \pmod{m_1}\] \[x \equiv r_2 \pmod{m_2}\] \[x \equiv r_3 \pmod{m_3}\]

Для данной задачи: \[x \equiv 2 \pmod{3}\] \[x \equiv 2 \pmod{7}\] \[x \equiv 2 \pmod{5}\]

Числа 3, 7 и 5 попарно взаимно просты (у них нет общих делителей, кроме 1), поэтому мы можем применить китайскую теорему об остатках.

Рассмотрим первые два уравнения: \[x \equiv 2 \pmod{3}\] \[x \equiv 2 \pmod{7}\]

Чтобы найти решение для этих двух уравнений, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида или просто пробовать значения x до тех пор, пока не найдем подходящее.

Если мы рассмотрим последовательность чисел, которые дают остаток 2 при делении на 3: \[2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, \ldots\]

И если мы будем проверять их по отношению ко второму уравнению (остаток 2 при делении на 7), то увидим, что первое число (2) удовлетворяет обоим условиям. Таким образом, x = 2 - это решение первых двух уравнений.

Теперь у нас есть одно уравнение: \[x \equiv 2 \pmod{5}\]

И мы можем использовать аналогичный метод для нахождения решения. Рассмотрим числа, дающие остаток 2 при делении на 5: \[2, 7, 12, 17, 22, \ldots\]

Таким образом, x = 17 - это решение всех трех уравнений.

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 3, 7 и 5 даёт остаток 2, равно 17.