Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями F(x)=x^2-2x+1, x=-2, x=-1, y=0.

Answer 1

$\int\limits^{-1}_{-2} { (x^{2} -2x+1)} \, dx = ( \frac{x^{3} }{3} - x^{2} +x)$ | (от -2 до -1) = - 1/3 - 1 - 1 + 8/3 + 4 + 2 = 4 + 7/3 = 6 целых 1/3 (кв.ед.)

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой \( F(x) = x^2 - 2x + 1 \), линиями \( x = -2 \), \( x = -1 \) и \( y = 0 \), нужно вычислить определенный интеграл функции, представляющей границы этой фигуры.

Для начала, давайте найдем точки пересечения кривой \( F(x) \) с осями \( x \) и \( y \):

1. Нахождение точек пересечения с осью \( x \):

\( F(x) = x^2 - 2x + 1 \)

Уравнение для нахождения корней: \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

Решим это уравнение:

\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0 \]

Таким образом, у нас есть один корень \( x = 1 \).

2. Нахождение точек пересечения с осью \( y \):

Когда \( x = 0 \), \( F(x) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \).

Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) — это точка (0, 1).

Теперь у нас есть все необходимые точки: точка пересечения с осью \( x \) (1, 0) и точка пересечения с осью \( y \) (0, 1).

Границы фигуры:

- Линия \( x = -2 \) до \( x = 1 \) (точка пересечения и еще немного вправо). - Линия \( x = -1 \) до \( x = 1 \) (точка пересечения и еще немного вправо). - Линия \( y = 0 \).

Теперь можем записать интеграл для вычисления площади:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} F(x) \,dx \]

где \( F(x) = x^2 - 2x + 1 \).

Вычислим этот интеграл:

\[ \text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (x^2 - 2x + 1) \,dx \]

\[ \text{Площадь} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \right]_{-2}^{1} \]

\[ \text{Площадь} = \left( \frac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 + 1 \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + (-2) \right) \]

\[ \text{Площадь} = \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 4 - 2 \right) \]

\[ \text{Площадь} = \frac{4}{3} + \frac{14}{3} \]

\[ \text{Площадь} = \frac{18}{3} = 6 \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и кривой, равна 6 квадратным единицам.