Question

Докажите, что прямая 4х-5у=18 проходит через точку пересечения прямых -3х+2у=-10 и 7х+6у=2.

Answer 1

4x+3x+7x=14x

5y+6y+2y=13y

Answer 2

Чтобы доказать, что прямая \(4x - 5y = 18\) проходит через точку пересечения прямых \(-3x + 2y = -10\) и \(7x + 6y = 2\), нужно подставить координаты этой точки в уравнение первой прямой и убедиться, что оно выполняется.

Давайте найдем точку пересечения прямых \(-3x + 2y = -10\) и \(7x + 6y = 2\). Для этого решим систему уравнений:

\[ \begin{align*} -3x + 2y &= -10 \quad \text{(1)} \\ 7x + 6y &= 2 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Умножим первое уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента -3 перед x:

\[ \begin{align*} -9x + 6y &= -30 \quad \text{(3)} \\ 7x + 6y &= 2 \quad \text{(4)} \end{align*} \]

Теперь сложим уравнения (3) и (4), чтобы устранить x:

\[ -9x + 6y + 7x + 6y = -30 + 2 \]

\[ -2x + 12y = -28 \]

Теперь разделим обе стороны на -2:

\[ x - 6y = 14 \quad \text{(5)} \]

Таким образом, система уравнений \(-3x + 2y = -10\) и \(7x + 6y = 2\) эквивалентна системе уравнений \(x - 6y = 14\) и \(7x + 6y = 2\).

Теперь решим эту систему. Добавим уравнения:

\[ (x - 6y) + (7x + 6y) = 14 + 2 \]

\[ 8x = 16 \]

\[ x = 2 \]

Подставим значение x в уравнение (5):

\[ 2 - 6y = 14 \]

\[ -6y = 12 \]

\[ y = -2 \]

Таким образом, точка пересечения прямых \(-3x + 2y = -10\) и \(7x + 6y = 2\) имеет координаты (2, -2).

Теперь подставим эти координаты в уравнение прямой \(4x - 5y = 18\) и проверим, выполняется ли оно:

\[ 4(2) - 5(-2) = 8 + 10 = 18 \]

Таким образом, уравнение \(4x - 5y = 18\) выполняется для точки (2, -2), что доказывает, что прямая \(4x - 5y = 18\) проходит через точку пересечения прямых \(-3x + 2y = -10\) и \(7x + 6y = 2\).