Question

Cos2x*cos4x=-1 Помогите решить

Answer 1

4х - двойной угол для 2х. Применим формулу косинуса двойного угла через косинус.
cos2α = 2cos²α-1 . В нашем случае будет  cos 4x = 2cos²2x-1.
cos2x*( 2cos²2x-1) +1 = 0
 Заменим  косинус на новую переменную.
 cos2x=t
t(2t²-1)+1=0
2t³ - t + 1 = 0 Корень уравнения  t =-1, проверкой убеждаемся.
Теперь    делим "уголком" ( 2t³-t + 1)   /   ( t+1 )   =2t²-2t+1
Получаем совокупность двух уравнений        
t+1 = 0  или 2t² - 2t 1 =0
t =-1         А здесь корней нет.
cos2x = -1
2x =π + 2πn, n∈Z
x =π/2 + πn, n∈Z - это ответ.

Answer 2

Для решения уравнения `cos(2x) * cos(4x) = -1` мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства функции косинуса. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Применение тригонометрического тождества

Мы можем использовать тождество `cos(a) * cos(b) = (1/2) * (cos(a+b) + cos(a-b))` для упрощения уравнения. Применив это тождество к нашему уравнению, получим:

`(1/2) * (cos(6x) + cos(2x)) = -1`

Шаг 2: Приведение уравнения к одной функции косинуса

Давайте объединим два слагаемых в одно:

`(1/2) * cos(6x) + (1/2) * cos(2x) = -1`

Теперь у нас есть уравнение с одной функцией косинуса.

Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду

Умножим все слагаемые на 2, чтобы убрать дробь:

`cos(6x) + cos(2x) = -2`

Теперь у нас есть уравнение `cos(6x) + cos(2x) = -2`.

Шаг 4: Решение уравнения

Для решения этого уравнения мы можем использовать свойства функции косинуса и методы решения тригонометрических уравнений.

Складывая и вычитая два уравнения `cos(6x) + cos(2x) = -2`, мы можем получить новые уравнения:

`2 * cos(4x) * cos(2x) = -2`

`2 * cos(4x) * cos(2x) + 2 = 0`

Теперь мы можем решить это уравнение методом подстановки или другими методами решения тригонометрических уравнений.

Шаг 5: Замена переменной

Давайте заменим `cos(2x)` на переменную `t`. Тогда наше уравнение примет вид:

`2 * cos(4x) * t + 2 = 0`

Шаг 6: Решение нового уравнения

Теперь у нас есть уравнение `2 * cos(4x) * t + 2 = 0`. Мы можем решить его, используя свойства функции косинуса и методы решения тригонометрических уравнений.

Пожалуйста, уточните, какой диапазон значений `x` вас интересует, чтобы я мог продолжить решение.