Question

Найдите экстремумы функции y=-8x^3+3

Answer 1

y' = -24x^2
-24x^2 = 0
x1 = 0
Вычисляем значения функции 
f(0) = 3
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = -48x
Вычисляем:
y''(0) = 0=0 - значит точка x = 0 точка перегиба функции.

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции y = -8x^3 + 3, мы должны сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Это позволит нам найти точки, где функция может иметь экстремумы - максимумы или минимумы.

Нахождение производной:

Для нашей функции y = -8x^3 + 3, используем правило дифференцирования степенной функции:

dy/dx = -24x^2

Приравнивание производной к нулю:

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

-24x^2 = 0

Это уравнение имеет одно решение x = 0.

Анализ экстремумов:

Теперь, когда мы нашли точку x = 0, мы можем проанализировать функцию в этой точке и около нее, чтобы определить, является ли она максимумом или минимумом.

Для этого мы можем использовать тест первой производной. Если производная меняет знак с плюса на минус при движении слева направо через точку, то это будет локальный максимум, и наоборот, если производная меняет знак с минуса на плюс, то это будет локальный минимум.

Анализ производной:

Для нашей функции y = -8x^3 + 3, производная dy/dx = -24x^2.

При подстановке x = 0 в производную, получаем dy/dx = -24(0)^2 = 0.

Так как производная равна нулю в точке x = 0, это может быть точка экстремума.

Анализ знака производной:

Чтобы определить знак производной в окрестности точки x = 0, мы можем рассмотреть значения производной в точках, находящихся слева и справа от нее.

При x < 0, производная dy/dx будет положительной, так как (-24) * (отрицательное число)^2 даст положительный результат.

При x > 0, производная dy/dx будет отрицательной, так как (-24) * (положительное число)^2 даст отрицательный результат.

Вывод:

Исходя из анализа производной, можно сделать вывод, что функция y = -8x^3 + 3 имеет локальный максимум в точке x = 0.

Таким образом, экстремумы функции y = -8x^3 + 3: - локальный максимум в точке (0, 3).

Подробно рассмотрели процесс нахождения экстремумов функции y = -8x^3 + 3, используя производную и анализ знака производной. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.