Question

Доказать равносильность (x ∨ y) & ( x ∨ -y) ≡ x Ну вообще там не -y, а y с чертой сверху, но я так понял в логике это одно и тоже.

Answer 1

V = + (или)
& = * (и)

(x ∨ y) & ( x ∨ -y)
(x + y) * ( x + -y)  (раскрою скобки)
х*х+у*х+-у*х+-у*у (А*А=А, -А*А=0)
х + у*х + -у*х + 0
х*( 1 + у + -у ) , -А+А=1
х*(1 + 1) , А+А=А
х*1
х

Answer 2

(x ∨ y) & ( x ∨ -y) ≡
((x&x)v(x&-y)v(x&y)v(y&-y)) ≡
(xv(x&-y)v(x&y)v0) ≡
(xv(x&(-yvy))v0) ≡
(xv(x&1)v0) ≡
(xvxv0) ≡
(xvx) ≡
x

0 - это пустое множество, или ложь
1 - это универсум, или истинно

Answer 3

Да, вы правы, символ "черта сверху" (¬) обозначает отрицание. Так что ваш вопрос сводится к доказательству равносильности выражений \((x \lor y) \land (x \lor \neg y)\) и \(x\).

Давайте рассмотрим левую часть выражения:

\[(x \lor y) \land (x \lor \neg y)\]

Это логическое выражение представляет собой конъюнкцию двух дизъюнкций. Мы можем использовать дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:

\[(x \land x) \lor (x \land \neg y) \lor (y \land x) \lor (y \land \neg y)\]

Теперь мы можем упростить выражение, учитывая, что \(x \land x = x\) и \(y \land \neg y = 0\):

\[x \lor (x \land \neg y) \lor (y \land x) \lor 0\]

Теперь учтем, что \(x \lor 0 = x\):

\[x \lor (x \land \neg y) \lor (y \land x)\]

Теперь обратим внимание на часть \(x \land \neg y\). Это выражение будет истинным только в том случае, если \(x\) и \(\neg y\) истинны одновременно, что возможно только в случае, если \(y\) ложно. Таким образом, \(x \land \neg y\) можно упростить до \(x \land \neg y\):

\[x \lor (x \land \neg y) \lor (y \land x)\]

Теперь учтем, что \(x \land x = x\):

\[x \lor (x \land \neg y) \lor x\]

Теперь учтем, что \(x \lor x = x\):

\[x \lor x \land \neg y\]

Теперь выражение принимает вид:

\[x\]

Таким образом, мы доказали равносильность выражений \((x \lor y) \land (x \lor \neg y)\) и \(x\).