Question

Помогите пожалуйста с неравенствами, желательно с графиками , за раннее спасибо (x^2+1)^2-12(x^2+1)+20>=0 (x^2+3x+12)(x^2+3x-10)<-120 (x^2+2x)^2+3(x+1)^2>3 x^4+x^2-45<=0

Answer 1

1) (x-1)×(x+1)×(x-3)×(x+3)
2)x⁴+6x³+11x²+6x-120
3)x⁴+4x³+7x²+6x+3

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое из неравенств.

1. \((x^2+1)^2-12(x^2+1)+20 \geq 0\)

Для удобства введем новую переменную \(u = x^2 + 1\). Тогда неравенство примет вид:

\[u^2 - 12u + 20 \geq 0\]

Для решения этого квадратного неравенства, найдем корни уравнения \(u^2 - 12u + 20 = 0\):

\[D = b^2 - 4ac = 144 - 4 \cdot 20 = 64\]

Корни:

\[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 8}{2} = 10 \quad \text{и} \quad 2\]

Теперь рассмотрим интервалы, образованные корнями. Поскольку мы хотим, чтобы выражение \((x^2+1)^2-12(x^2+1)+20\) было неотрицательным, то нужно, чтобы это выражение было положительным или равным нулю на интервалах между корнями.

Таким образом, решением неравенства являются значения \(x\), для которых \(x^2 + 1 \leq 2\) или \(x^2 + 1 \geq 10\).

Это равносильно \( -1 \leq x \leq 1 \) или \( x \leq -\sqrt{9} \) или \( x \geq \sqrt{9} \).

2. \((x^2+3x+12)(x^2+3x-10) < -120\)

Умножим сомножители и приведем подобные члены:

\[(x^2+3x+12)(x^2+3x-10) + 120 < 0\]

Снова введем новую переменную \(u = x^2 + 3x\), получим:

\[(u + 12)(u - 10) + 120 < 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[u^2 + 2u - 240 < 0\]

Решим это неравенство. Сначала найдем корни уравнения \(u^2 + 2u - 240 = 0\):

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 964\]

Корни:

\[u_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2} = -1 \pm \sqrt{241}\]

Интервалы, где неравенство \(u^2 + 2u - 240 < 0\) выполняется, это между корнями.

Таким образом, решением этого неравенства являются значения \(x\), для которых \(-1 - \sqrt{241} < x^2 + 3x < -1 + \sqrt{241}\).

3. \((x^2+2x)^2 + 3(x+1)^2 > 3 + x^4 + x^2 - 45\)

Упростим неравенство:

\[x^4 + 4x^3 + 10x^2 + 12x + 10 > 0\]

Это неравенство представляет собой сумму положительных слагаемых, и оно всегда положительно. Таким образом, решением этого неравенства является множество всех действительных чисел \(x\).

4. \(x^4 + x^2 - 45 \leq 0\)

Это квадратное уравнение в \(x^2\). Решим его:

\[x^4 + x^2 - 45 = 0\]

Проведем замену \(y = x^2\):

\[y^2 + y - 45 = 0\]

Решим это квадратное уравнение:

\[D = 1^2 - 4 \cdot (-45) = 181\]

Корни:

\[y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{181}}{2}\]

Теперь восстановим переменную \(x\):

\[x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{181}}{2}\]

Это равносильно двум уравнениям:

\[x = \pm \sqrt{\frac{-1 \pm \sqrt{181}}{2}}\]

Таким образом, решением неравенства \(x^4 + x^2 - 45 \leq 0\) является множество всех \(x\), которые удовлетворяют этим уравнениям.

Теперь мы рассмотрели каждое из заданных неравенств. Помните, что графики данных функций могут быть полезными для визуализации решений.