Question

Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:y=-x^2+4x-4, y=0, x=-1, x=4

Answer 1

Площадь фигуры, ограниченной линиями - модуль разности определенных интегралов этих линий.
В данном случае на отрезке [-1,4]
Решаем:
$\int\limits^4_{-1} (-x^{2} +4x-4) \, dx - 0$
По формуле Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)$
где F(x) - первообразная f(x)
В нашем случае первообразная -x³/3+2x²-4x
F(4)-F(-1) = -64/3+32-16-(1/3+2+4) = -35/3 по модулю 35/3

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы должны найти интеграл от функции, описывающей верхнюю границу фигуры, и вычесть из него интеграл от функции, описывающей нижнюю границу фигуры.

Сначала найдем точки пересечения данных линий. Для этого приравняем уравнение y=-x^2+4x-4 к нулю:

-x^2+4x-4 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня или формулы дискриминанта. Получим два корня: x = 1 и x = 3.

Теперь мы можем найти площадь фигуры, используя интегралы.

Площадь фигуры будет равна интегралу от функции, описывающей верхнюю границу фигуры, минус интеграл от функции, описывающей нижнюю границу фигуры.

Интеграл от функции y = -x^2 + 4x - 4 будет:

∫[-1, 4] (-x^2 + 4x - 4) dx

А интеграл от функции y = 0 будет:

∫[-1, 4] 0 dx

Так как интеграл от константы равен просто этой константе, второй интеграл будет равен нулю.

Итак, остается вычислить только первый интеграл:

∫[-1, 4] (-x^2 + 4x - 4) dx = [-x^3/3 + 2x^2 - 4x] [-1, 4]

Подставим верхний предел интегрирования (4) и нижний предел интегрирования (-1):

[-(4)^3/3 + 2(4)^2 - 4(4)] - [(-1)^3/3 + 2(-1)^2 - 4(-1)]

= [-64/3 + 32 - 16] - [-1/3 + 2 + 4]

= [-64/3 + 16] - [-1/3 + 6]

= -64/3 + 16 + 1/3 - 6

= -64/3 + 49/3 - 6

= -15/3

= -5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x - 4, y = 0, x = -1 и x = 4, равна 5.