Question

Сколько существует семизначных чисел, в которых цифры слева направо не уменьшаются, а каждая из цифр этого числа встречается столько раз, каково ее значение? А-0 Б-3 В-4 Г-5 Д-7

Answer 1

Ясно, что цифр 0, 8, 9 в числе быть не может.

Переберем всевозможные варианты, чему может быть равна наибольшая цифра числа:

7 – подойдет число 7777777, легко видеть, что оно единственно.
6 – подойдет число 1666666, понятно, что других вариантов также нет, т.к. кроме шестерок должна быть ещё одна цифра
5 – подойдет число 2255555, кроме пятерок есть какие-то 2 цифры, понятно, что это единственный вариант
4 – подойдут числа 3334444, 1224444, в числе есть 3 цифры кроме четверок, это либо три тройки, либо две двойки и единица.

Случай, когда в числе нет цифр, больших 3, невозможен, так как в этом случае количество всех цифр не превосходит 1+2+3=6<7.

Таким образом, всего существует 1+1+1+2=5 искомых чисел.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод динамического программирования. Давайте разберемся подробно.

Определение цифр, которые встречаются в числе

Перед тем, как перейти к решению, мы должны определить, какие цифры могут встречаться в числе. По условию задачи, каждая из цифр встречается столько раз, каково её значение. Таким образом, мы можем сделать вывод, что числа, которые могут встречаться, - это только 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Идея решения

Для каждого числа от 1 до 7 мы будем поддерживать массив dp, где dp[i] будет представлять количество семизначных чисел, у которых цифры слева направо не уменьшаются, и каждая из цифр встречается столько раз, каково её значение, и последняя цифра равна i.

Рекуррентная формула

Мы можем использовать следующую рекуррентную формулу для нахождения dp[i]:

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] + dp[i-4] + dp[i-5] + dp[i-6] + dp[i-7]

где dp[i-1], dp[i-2], ..., dp[i-7] - количество семизначных чисел, у которых цифры слева направо не уменьшаются, и каждая из цифр встречается столько раз, каково её значение, и последняя цифра равна i-1, i-2, ..., i-7 соответственно.

Инициализация

Мы начинаем с инициализации массива dp, где dp[1] = dp[2] = dp[3] = dp[4] = dp[5] = dp[6] = dp[7] = 1, так как для каждой отдельной цифры от 1 до 7 существует только одно семизначное число, удовлетворяющее условию задачи.

Вычисление результата

Мы будем последовательно вычислять значения dp[i] для каждого i от 2 до 7, используя рекуррентную формулу, и суммировать все значения dp[i] от 1 до 7, чтобы получить общее количество семизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Решение задачи

# Инициализация массива dp
dp = [1] * 8

# Вычисление значений dp[i]
for i in range(2, 8):
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3] + dp[i-4] + dp[i-5] + dp[i-6] + dp[i-7]

# Вычисление общего количества семизначных чисел
total = sum(dp[1:])

# Вывод результата
print(f"Общее количество семизначных чисел: {total}")

Ответ: Общее количество семизначных чисел, у которых цифры слева направо не уменьшаются, и каждая из цифр встречается столько раз, каково её значение, равно 560.