Question

Y=(x-4)*e^2x-7 найти наименьшее значение, если можно с подробным решением!))

Answer 1

Решение.
Находим первую производную функции:
$y'=(2x-7) e^{2x-7}$
 Приравниваем ее к нулю
$(2x-7)e^{2x-7}=0\\ x=3.5$

Найдем вторую производную:
$y'' = 4(x-4) e^{2x-7}+4e^{2x-7}$

Найдем значение второй производной в точке х=3,5
$y''(3.5)=4(3.5-4) e^{2\cdot3.5-7}+4e^{2\cdot 3.5-7}=2\ \textgreater \ 0$, значит точка х=3,5 точка минимума функции

Answer 2

Для нахождения минимального значения функции \( Y = (x-4)e^{2x} - 7 \), нужно найти критические точки функции, где производная равна нулю, и проверить значения в этих точках и на концах области определения функции (если таковая задана).

1. Начнем с нахождения производной функции \( Y \) по переменной \( x \):

\[ Y'(x) = \frac{d}{dx}((x-4)e^{2x} - 7) \]

Используем правило производной произведения и цепного правило:

\[ Y'(x) = e^{2x}(x-4)(2) + (x-4)e^{2x} \]

\[ Y'(x) = 2(x-4)e^{2x} + (x-4)e^{2x} \]

\[ Y'(x) = (2x - 8 + x - 4)e^{2x} \]

\[ Y'(x) = (3x - 12)e^{2x} \]

2. Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

\[ (3x - 12)e^{2x} = 0 \]

Так как экспонента \( e^{2x} \) всегда положительна, то уравнение сводится к \( 3x - 12 = 0 \). Решение этого уравнения:

\[ 3x = 12 \]

\[ x = 4 \]

Таким образом, \( x = 4 \) - единственная критическая точка.

3. Теперь найдем значения функции в этой точке и на концах области определения (если она задана). Однако, функция \( Y \) определена для всех действительных значений \( x \), поэтому ограничений на область определения нет.

Подставим \( x = 4 \) в исходную функцию:

\[ Y(4) = (4-4)e^{2 \cdot 4} - 7 \]

\[ Y(4) = 0 \]

Таким образом, единственная критическая точка \( x = 4 \) является минимумом функции \( Y \), и ее минимальное значение равно 0.