Question

1. Точки А( -7; 3; 2); В(-3; -2; 2) і С( -7; 7; -1) вершини трикутника АВС. Знайдіть площу цього трикутника . 2. Обчисліть об’єм піраміди з вершинами у точках A (7; 2; 2); B (5; 7; 7); C (5; 3; 1); D (2; 3; 7).

Answer 1

1. Даны точки А( -7; 3; 2); В(-3; -2; 2) и С( -7; 7; -1).
Находим длины сторон треугольника.
d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
 Вектор АВ (4; -5; 0).  L(AB) = √(16+25+0)= √41 ≈ 6,4031242.
 Вектор ВС( -4; 9; -3). L(BC) = √(16+81+9) = √106 ≈ 10,2956301.
 Вектор АС (0; 4; -3).  L(AC) =  √(0+16+9) = √25 = 5.
Теперь по формуле Герона находим площадь.
Треугольник АВС
a(ВС)          b(АС)        c(АВ)                p                       2p                S
10,29563     5          6,403124     10,84937719      21,6987544       12,5
   cos A = -0,62469505         cos B = 0,925305139       cos С = 0,8741573 Аrad = 2,24553727            Brad = 0,38895688               Сrad = 0,5070985 Аgr = 128,659808              Bgr = 22,28558765              Сgr = 29,054604.
Ответ: S = 12,5.

2) Даны координаты пирамиды: A1(7,2,2), A2(5,7,7), A3(5,3,1), A4(2,3,7)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2 (AB):
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 5-7; Y = 7-2; Z = 7-2
A1A2(-2;5;5)    (AB)
A1A3(-2;1;-1)  (AC)
A1A4(-5;1;5)    (AD)
A2A3(0;-4;-6)    (BC)
A2A4(-3;-4;0)    (BD)
A3A4(-3;0;6)     (CD).

2) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
X1   Y1   Z1
X2  Y2    Z2
X3  Y3   Z3
-2    5    5
-2     1   -1
-5    1     5
Находим определитель матрицы
∆ = (-2)*(1*5-1*(-1))-(-2)*(5*5-1*5)+(-5)*(5*(-1)-1*5) = 78
V = (1/6)*78 = 13.

Answer 2

1. Для знаходження площі трикутника АВС можна використати формулу площі грани трикутника в тривимірному просторі:

S = 1/2 * |(В - А) × (С - А)|,

де |(В - А) × (С - А)| - модуль векторного добутку векторів (В - А) та (С - А).

Розрахунок: Візьмемо вектори AB і AC: AB = В - А = (-3 - (-7), -2 - 3, 2 - 2) = (4, -5, 0), AC = С - А = (-7 - (-7), 7 - 3, -1 - 2) = (0, 4, -3).

Обчислимо їх векторний добуток: AB × AC = (4, -5, 0) × (0, 4, -3) = (20, 12, 16).

Знайдемо модуль векторного добутку: |(AB × AC)| = √(20^2 + 12^2 + 16^2) = √(400 + 144 + 256) = √800 = 20√2.

Підставимо значення в формулу площі: S = 1/2 * 20√2 = 10√2.

Отже, площа трикутника АВС дорівнює 10√2.

2. Для обчислення об'єму піраміди з вершинами у точках A, B, C та D можна використати формулу об'єму піраміди:

V = 1/6 * |(В - A) · ((С - A) × (D - A))|,

де |(В - A) · ((С - A) × (D - A))| - модуль змішаного добутку векторів (В - А), (С - А) та (D - А).

Розрахунок: Візьмемо вектори AB, AC і AD: AB = В - А = (5 - 7, 7 - 2, 7 - 2) = (-2, 5, 5), AC = С - А = (5 - 7, 3 - 2, 1 - 2) = (-2, 1, -1), AD = D - А = (2 - 7, 3 - 2, 7 - 2) = (-5, 1, 5).

Обчислимо їх векторний добуток: (AC × AD) = (-2, 1, -1) × (-5, 1, 5) = (4, -3, -7), (AB · (AC × AD)) = (-2, 5, 5) · (4, -3, -7) = (-8, -15, -35).

Знайдемо модуль змішаного добутку: |(AB · (AC × AD))| = √((-8)^2 + (-15)^2 + (-35)^2) = √(64 + 225 + 1225) = √1514.

Підставимо значення в формулу об'єму: V = 1/6 * √1514.

Отже, об'єм піраміди з вершинами у точках A, B, C та D дорівнює 1/6 * √1514.