Question

Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер AD, A1D1, DC, D1C1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 с рёбрами AB=4, AD=3, АА1=2

Answer 1

Построил чертеж и расчеты на рисунке по теореме Пифагора.

Answer 2

Конечно, давайте разберём эту задачу.

У нас есть прямоугольный параллелепипед \(ABCDA1B1C1D1\) с данными рёбрами: \(AB = 4\), \(AD = 3\) и \(AA1 = 2\). Нам нужно найти площадь четырёхугольника, вершинами которого являются середины рёбер \(AD\), \(A1D1\), \(DC\) и \(D1C1\).

Чтобы найти площадь этого четырёхугольника, давайте начнём с нахождения середин всех этих рёбер.

1. Середина ребра \(AD\) обозначена как \(M\). 2. Середина ребра \(A1D1\) обозначена как \(N\). 3. Середина ребра \(DC\) обозначена как \(P\). 4. Середина ребра \(D1C1\) обозначена как \(Q\).

Сначала найдём длины этих отрезков. Поскольку \(AB = 4\) и \(AD = 3\), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения \(BD\):

\[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}\]

Теперь, так как \(AA1 = 2\), \(A1D1\) - это половина \(AD\), то есть \(A1D1 = \frac{AD}{2} = \frac{3}{2}\).

Итак, у нас есть все стороны и диагонали прямоугольника \(ABCDA1B1C1D1\). Давайте найдём координаты середин каждого из рёбер.

Координаты точек: - \(A(0, 0, 0)\) - \(B(4, 0, 0)\) - \(C(4, 0, 3)\) - \(D(0, 0, 3)\) - \(A1(0, 2, 0)\) - \(B1(4, 2, 0)\) - \(C1(4, 2, 3)\) - \(D1(0, 2, 3)\)

Середины отрезков: - \(M(\frac{AD}{2}, 0, \frac{AD}{2}) = (\frac{3}{2}, 0, \frac{3}{2})\) - \(N(\frac{A1D1}{2}, 1, \frac{A1D1}{2}) = (\frac{3}{4}, 1, \frac{3}{4})\) - \(P(\frac{DC}{2}, 0, 3 + \frac{DC}{2}) = (\frac{2}{2}, 0, \frac{9}{2}) = (1, 0, \frac{9}{2})\) - \(Q(\frac{D1C1}{2}, 1, 3 + \frac{D1C1}{2}) = (\frac{\sqrt{7}}{2}, 1, \frac{15}{2})\)

Теперь наша задача - найти площадь четырёхугольника, образованного этими точками. Мы можем использовать формулу для площади четырёхугольника по координатам вершин, называемую формулой площади шестиугольника по координатам:

\[S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1 - y_1 x_2 - y_2 x_3 - y_3 x_4 - y_4 x_1|\]

Подставим координаты точек и найдём площадь четырёхугольника.