Question

Пользуясь определением производной найти производную функции y=6^x+5

Answer 1

$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=(6^{x+\Delta x}+5)-(6^x+5)=6^x(6^{\Delta x}-1)\\ y'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=6^x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{6^{\Delta x}-1}{\Delta x}=6^x\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{e^{\Delta x\ln 6}-1}{\Delta x}=6^x\ln6$

Для решения надо откуда-то знать, что 
$\lim\limits_{ x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1$

Answer 2

Для того, чтобы найти производную функции y = 6^x + 5, мы можем использовать определение производной. Определение производной гласит, что производная функции f(x) в точке x равна пределу отношения изменения функции f(x) к изменению аргумента x при стремлении изменения аргумента к нулю:

f'(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) - f(x)) / h]

Давайте применим это определение к функции y = 6^x + 5.

Шаг 1: Вычисление изменения функции

Для начала, нам нужно вычислить изменение функции f(x) при изменении аргумента x на значение h:

f(x + h) = 6^(x + h) + 5

f(x) = 6^x + 5

Теперь мы можем вычислить разность f(x + h) - f(x):

(f(x + h) - f(x)) = (6^(x + h) + 5) - (6^x + 5) = 6^(x + h) - 6^x

Шаг 2: Вычисление производной

Теперь мы можем подставить вычисленную разность в определение производной и вычислить предел при h стремящемся к нулю:

f'(x) = lim (h -> 0) [(6^(x + h) - 6^x) / h]

Шаг 3: Упрощение выражения

Для упрощения выражения, мы можем разложить разность степеней 6:

f'(x) = lim (h -> 0) [(6^x * 6^h - 6^x) / h]

Шаг 4: Факторизация общего множителя

Теперь мы можем факторизовать общий множитель 6^x:

f'(x) = lim (h -> 0) [6^x * (6^h - 1) / h]

Шаг 5: Применение предела

Мы можем применить предел к выражению (6^h - 1) / h при h стремящемся к нулю. Это можно сделать с помощью правила Лопиталя или с помощью замены переменной.

Заметим, что (6^h - 1) / h в точности является производной функции 6^h по h в точке h = 0. Таким образом, мы можем заменить это выражение производной:

f'(x) = 6^x * f'(0)

Шаг 6: Вычисление значения f'(0)

Для вычисления значения f'(0), нам нужно найти производную функции 6^h по h и подставить h = 0.

Функция 6^h является экспоненциальной функцией с основанием 6. Производная экспоненциальной функции с основанием a равна a^x * ln(a), где ln(a) - натуральный логарифм основания a.

Таким образом, производная функции 6^h по h равна 6^h * ln(6).

Подставляя h = 0, получаем:

f'(0) = 6^0 * ln(6) = 1 * ln(6) = ln(6)

Ответ

Таким образом, производная функции y = 6^x + 5 равна:

f'(x) = 6^x * ln(6)

где ln(6) - натуральный логарифм основания 6.