Question

В мешке лежат золотые монеты: доллары, евро и рубли, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один доллар, если вынуть 9 монет — окажется хотя бы один евро, если же вынуть 8 монет, — хотя бы один рубль. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?

Answer 1

Не более 12 монет
12-9+1=4 евро
12-8+1=5 рублей
12-(4+5)=3 доллара
4+5+3=12 монет

Answer 2

Предположим, что в мешке есть \(x\) долларов, \(y\) евро и \(z\) рублей. По условию задачи, независимо от выбора 10 монет, извлеченных из мешка, должны быть выполнены следующие условия:

1. Если вынуть 10 монет, должен быть хотя бы один доллар. 2. Если вынуть 9 монет, должен быть хотя бы один евро. 3. Если вынуть 8 монет, должен быть хотя бы один рубль.

Давайте рассмотрим возможные варианты для выполнения этих условий:

1. При извлечении 10 монет должен быть хотя бы один доллар. Это означает, что сумма долларов вместе с другими монетами должна быть не менее 10. 2. При извлечении 9 монет должен быть хотя бы один евро. Это означает, что сумма евро вместе с другими монетами должна быть не менее 9. 3. При извлечении 8 монет должен быть хотя бы один рубль. Это означает, что сумма рублей вместе с другими монетами должна быть не менее 8.

Из этих условий мы можем составить систему неравенств:

\[ \begin{cases} x + y + z \geq 10 \quad \text{(1)} \\ x + y \geq 9 \quad \text{(2)} \\ x + z \geq 8 \quad \text{(3)} \end{cases} \]

Теперь давайте попробуем найти такие целые значения \(x\), \(y\) и \(z\), которые удовлетворяют этой системе неравенств и максимизируют сумму \(x + y + z\).

Если мы возьмем \(x = 5\), \(y = 4\) и \(z = 3\), то все три условия выполняются. Таким образом, максимальное количество монет в мешке будет \(x + y + z = 5 + 4 + 3 = 12\).

Таким образом, наибольшее количество монет в мешке составляет 12.