Question

Упростите выражние sin5acos2a-cos5asin2a/cos3a

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Используем формулу двойного угла sin(2a) = 2sin(a)cos(a) для замены sin(2a) и cos(2a) в выражении. Получаем:

(sin(5a) * cos(2a) - cos(5a) * sin(2a)) / cos(3a)

= (sin(5a) * (2cos^2(a) - 1) - cos(5a) * (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 2: Используем формулу синуса суммы sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) для замены sin(5a) и cos(5a) в выражении. Получаем:

((sin(a)cos(4a) + cos(a)sin(4a)) * (2cos^2(a) - 1) - (sin(a)cos(4a) - cos(a)sin(4a)) * (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 3: Используем формулу синуса разности sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) для замены sin(4a) в выражении. Получаем:

(((sin(a)cos(a) - cos(a)sin(a)) * (2cos^2(a) - 1) + (sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a)) * (2sin(a)cos(a))) * (2cos^2(a) - 1) - ((sin(a)cos(a) - cos(a)sin(a)) * (2cos^2(a) - 1) - (sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a)) * (2sin(a)cos(a))) * (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 4: Упрощаем числители и знаменатель. Получаем:

((0 * (2cos^2(a) - 1) + 2sin^2(a)cos^2(a)) * (2cos^2(a) - 1) - (0 * (2cos^2(a) - 1) - 2sin^2(a)cos^2(a)) * (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 5: Упрощаем выражение. Получаем:

(2sin^2(a)cos^2(a) * (2cos^2(a) - 1) + 2sin^2(a)cos^2(a) * (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 6: Факторизуем общий множитель 2sin^2(a)cos^2(a). Получаем:

2sin^2(a)cos^2(a) * ((2cos^2(a) - 1) + (2sin(a)cos(a))) / cos(3a)

Шаг 7: Упрощаем числитель. Получаем:

2sin^2(a)cos^2(a) * (4cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 1) / cos(3a)

Таким образом, исходное выражение sin(5a)cos(2a) - cos(5a)sin(2a) / cos(3a) упрощается до 2sin^2(a)cos^2(a) * (4cos^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 1) / cos(3a).

Для проверки правильности упрощения, вы можете подставить конкретное значение угла "a" и вычислить исходное и упрощенное выражения, чтобы убедиться, что они равны.