Question

Доказать, что при любом натуральном а выражение а^3 + 11а делится на 6

Answer 1

A^3 + 11a = a*(a^2 + 11)
Если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3 одновременно.
Если а делится на 6, то число делится на 6.
Если а делится на 6 с остатком 1, то его можно представить как a = 6k+1
a((6k+1)^2 + 11) = a(36k^2+12k+1+11) = a(36k^2+12k+12) = 6a(6k^2+2k+2)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 2, то его можно представить как a=6k+2=2(3k+1)
a((6k+2)^2+11)=a(36k^2+24k+4+11)=2(3k+1)(36k^2+24k+15)=6(3k+1)(12k^2+8k+5)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 3, то его можно представить как a=6k+3=3(2k+1)
a((6k+3)^2+11)=a(36k^2+36k+9+11)=3(2k+1)(36k^2+36k+20)=12(3k+1)(9k^2+9k+5)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 4, то его можно представить как a=6k+4=2(3k+2)
a((6k+4)^2+11)=a(36k^2+48k+16+11)=2(3k+2)(36k^2+48k+27)=6(3k+2)(12k^2+16k+9)
Очевидно, оно делится на 6
Если а делится на 6 с остатком 5, то его можно представить как a = 6k+5
a((6k+5)^2 + 11) = a(36k^2+60k+25+11) = a(36k^2+60k+36) = 6a(6k^2+10k+6)
Очевидно, оно делится на 6
Итак, во всех случаях это число делится на 6.

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение \(a^3 + 11a\) делится на 6 для любого натурального \(a\), давайте воспользуемся методом математической индукции.

Базовый случай:

При \(a = 1\): \[1^3 + 11 \cdot 1 = 1 + 11 = 12\]

12 делится на 6, так как 12 равно \(2 \cdot 6\). Таким образом, базовый случай верен.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого \(k\), т.е. \(k^3 + 11k\) делится на 6.

Шаг индукции:

Докажем, что утверждение верно для \(k+1\). Рассмотрим выражение \((k+1)^3 + 11(k+1)\):

\[ \begin{align*} &(k+1)^3 + 11(k+1) \\ &= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 11k + 11 \\ &= (k^3 + 11k) + 3k^2 + 3k + 12. \end{align*} \]

Мы видим, что первое слагаемое \(k^3 + 11k\) делится на 6 по предположению индукции. Остается показать, что \(3k^2 + 3k + 12\) также делится на 6.

Мы можем выделить общий множитель 3 из этих трех членов:

\[3(k^2 + k + 4).\]

Теперь, чтобы доказать, что \(3(k^2 + k + 4)\) делится на 6, достаточно показать, что \(k^2 + k + 4\) делится на 2.

Если рассмотреть три возможных случая для четности \(k\), то мы увидим, что в каждом случае \(k^2 + k + 4\) оказывается четным числом. Таким образом, вторая часть тоже делится на 2.

Таким образом, мы доказали, что \(3(k^2 + k + 4)\) делится на 6.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального числа \(a\): \(a^3 + 11a\) делится на 6.