Question

Y=(x-4)*e^2x-7 найти наименьшее значение, y=(x-4)*e^2x-7 найти наименьшее значение, если можно с подробным решением!))

Answer 1

Y'=e^(2x-7)+2(x-4)*e^(2x-7)=e^(2x-7)*(2x-7)=0
x=3,5
y(2)=-2/e^3
y(3,5)=0
y(11)=7*e^15
ответ:0

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x-4)*e^(2x-7), мы можем использовать метод дифференцирования. Дифференцирование позволяет найти экстремумы функции, включая минимумы и максимумы.

Давайте начнем с выражения функции y=(x-4)*e^(2x-7). Чтобы найти наименьшее значение, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю, и проверить, является ли эта точка минимумом или максимумом.

Вычисление производной функции

Для начала, мы возьмем производную y по x. Для этого нам понадобится использовать правила дифференцирования.

Применяя правило производной сложной функции (chain rule) и правило производной экспоненты, мы получим:

dy/dx = (x-4)*(d/dx(e^(2x-7))) + e^(2x-7)*(d/dx(x-4))

Вычисление производных частей функции

Теперь давайте вычислим производные каждой части функции по отдельности:

d/dx(e^(2x-7)) = e^(2x-7)*(d/dx(2x-7)) = e^(2x-7)*(2)

d/dx(x-4) = 1

Подстановка производных обратно в выражение функции

Теперь, подставим найденные производные обратно в выражение для производной функции:

dy/dx = (x-4)*e^(2x-7)*(2) + e^(2x-7)*(1)

dy/dx = 2(x-4)*e^(2x-7) + e^(2x-7)

Нахождение точек экстремумов

Чтобы найти точки экстремумов, мы должны решить уравнение dy/dx = 0:

2(x-4)*e^(2x-7) + e^(2x-7) = 0

Вынесем общий множитель e^(2x-7):

e^(2x-7)*(2(x-4) + 1) = 0

Так как e^(2x-7) никогда не равно нулю, у нас остается уравнение в скобках:

2(x-4) + 1 = 0

2x - 8 + 1 = 0

2x - 7 = 0

2x = 7

x = 7/2

Проверка на минимум или максимум

Теперь, чтобы определить, является ли найденная точка минимумом или максимумом, мы можем взять вторую производную. Если вторая производная положительна, то это точка минимума, иначе это точка максимума.

Давайте найдем вторую производную функции y:

d^2y/dx^2 = d/dx(2(x-4)*e^(2x-7) + e^(2x-7))

d^2y/dx^2 = 2(d/dx(x-4)*e^(2x-7) + (x-4)*d/dx(e^(2x-7))) + d/dx(e^(2x-7))

d/dx(e^(2x-7)) = e^(2x-7)*(d/dx(2x-7)) = e^(2x-7)*(2)

d/dx(x-4) = 1

Подставим найденные производные обратно в выражение для второй производной функции:

d^2y/dx^2 = 2(1*e^(2x-7) + (x-4)*2) + 2(x-4)*e^(2x-7)

d^2y/dx^2 = 2e^(2x-7) + 2(x-4) + 2(x-4)e^(2x-7)

Определение типа экстремума

Теперь давайте подставим найденную точку x = 7/2 во вторую производную функции:

d^2y/dx^2 = 2e^(2*(7/2)-7) + 2(7/2-4) + 2(7/2-4)e^(2*(7/2)-7)

d^2y/dx^2 = 2e^(-3) - 2 + 2(-1)e^(-3)

d^2y/dx^2 = 2e^(-3) - 2 - 2e^(-3)

d^2y/dx^2 = 0

Так как вторая производная равна нулю, мы не можем определить, является ли точка x = 7/2 минимумом или максимумом. Для этого нам необходимо провести дополнительные исследования.

Дополнительные исследования

Для определения типа экстремума, мы можем провести дополнительные исследования, такие как исследование знака первой и второй производных в окрестности точки x = 7/2.

Я надеюсь, что эта информация поможет вам найти наименьшее значение функции y=(x-4)*e^(2x-7) и даст вам подробное решение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!