Question

Решите уравнение:: 1/cos2x + 3tgx - 5 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Answer 1

1/cos²x=1+tg²x
1+tg²x+3tgx-5=0
tg²x+3tgx-4=0
tgx=a
a²+3a-4=0
a1+a2=-3 U a1*a2=-4
a1=-4⇒tgx=-4⇒x=-arctg4+πn
a2=1⇒tgx=1⇒x=π/4+πn
x=π/4∈[-π;π/2]

Answer 2

Конечно, решим уравнение \( \frac{1}{\cos^2 x} + 3\tan x - 5 = 0 \) на отрезке \([-π, \frac{\pi}{2}]\).

1. Приведение уравнения к общему знаменателю:

Умножим каждый член уравнения на \(\cos^2 x\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[ 1 + 3\sin x - 5\cos^2 x = 0 \]

2. Приведение к квадратному уравнению:

Переносим все члены на одну сторону:

\[ 5\cos^2 x - 3\sin x - 1 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\).

3. Решение квадратного уравнения:

Решим уравнение \(5\cos^2 x - 3\sin x - 1 = 0\) для \(\cos x\). Для удобства обозначим \(\sin x\) как \(t\):

\[ 5(1 - t^2) - 3t - 1 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 5 - 5t^2 - 3t - 1 = 0 \]

Упростим:

\[ -5t^2 - 3t + 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(t\). Используем, например, метод дискриминанта:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -5\), \(b = -3\), \(c = 4\).

\[ D = (-3)^2 - 4(-5)(4) = 9 + 80 = 89 \]

Дискриминант положителен, следовательно, у нас есть два корня:

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{89}}{-10} \]

Значения \(\sin x\) будут корнями этого уравнения.

4. Определение значений \(\cos x\):

Используем тригонометрическое соотношение \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), чтобы найти \(\cos x\) по найденным значениям \(\sin x\).

\[ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \]

5. Выбор корней в заданном интервале:

Поскольку у нас задан интервал \([-π, \frac{\pi}{2}]\), мы выбираем те значения \(x\), для которых \(\cos x\) лежит в этом интервале.

Таким образом, мы получим корни уравнения на заданном интервале.