Question

Найти производную сложной функции 1.y=корень(3)x + sin x * cos x 2.y = (tg x + sin x)/(корень(2x)) 3.y=tg^3 корень(2x)

Answer 1

$y= \sqrt[3]{x}+sinx\cdot cosx= \sqrt[3]{x}+\frac{1}{2}\cdot sin2x\\\\y'=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot cos2x\\\\2)\; \; y=\frac{tgx+sinx}{\sqrt{2x}}\\\\y'=\frac{(\frac{1}{cos^2x}+cosx)\sqrt{2x}- (tgx+sinx)\cdot \frac{2}{2\sqrt{2x}}}{2x}\\\\3)\; \; y=tg^3(\sqrt{2x})\\\\y'=3tg^2(\sqrt{2x})\cdot \frac{1}{cos^2(\sqrt{2x})}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2$

Answer 2

Конечно, давайте находим производные для каждой из данных функций.

1. \( y = \sqrt{3x} + \sin(x) \cdot \cos(x) \)

Начнем с нахождения производных отдельных частей этой функции, используя базовые правила дифференцирования:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{3x}) + \frac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x)) \]

1.1. Находим производную \(\sqrt{3x}\):

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{3x}) = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \frac{1}{2\sqrt{3x}} \cdot 3 = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

1.2. Находим производную \(\sin(x) \cdot \cos(x)\) с использованием производных произведения:

\[ \frac{d}{dx}(\sin(x) \cdot \cos(x)) = \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \sin(x) \]

Теперь собираем все вместе:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

2. \( y = \frac{\tan(x) + \sin(x)}{\sqrt{2x}} \)

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(\tan(x) + \sin(x))}{\frac{1}{2} \cdot (2x)^{-\frac{1}{2}}} \]

2.1. Находим производную \(\tan(x) + \sin(x)\):

\[ \frac{d}{dx}(\tan(x) + \sin(x)) = \sec^2(x) + \cos(x) \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sec^2(x) + \cos(x)}{\sqrt{2x}} \]

3. \( y = \tan^3(x) + \sqrt{2x} \)

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^3(x)) + \frac{d}{dx}(\sqrt{2x}) \]

3.1. Находим производную \(\tan^3(x)\):

\[ \frac{d}{dx}(\tan^3(x)) = 3\tan^2(x) \cdot \sec^2(x) \]

3.2. Находим производную \(\sqrt{2x}\) с использованием цепного правила:

\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{2x}) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{\sqrt{2x}} \]

Теперь собираем все вместе:

\[ \frac{dy}{dx} = 3\tan^2(x) \cdot \sec^2(x) + \frac{1}{\sqrt{2x}} \]

Это окончательные ответы для производных данных функций.