Question

Исследовать методами дифференциального исчисления функции y=f(X); используя результаты исследования, построить ее график:

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Область определения - все - Х ⊂ R
Находим производную
Y' = -3x² - 12 = -3*(x-2)(x+2) = 0
Отсюда точки экстремума = х1 = -2 и х2 = +2
Вычисляем значения
Ymin = - 17   Ymax = 15
Находим вторую производную -  точка перегиба
Y" = - 6x = 0 
Точка перегиба при Х=0.  При х<0 - вогнутая, x> 0 - выпуклая.
С трудом, но находим корни функции 
х1 = -3,505,  х2 = 0,083 и х3 = +3,422

Answer 2

Для исследования функции y = f(x) методами дифференциального исчисления, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите область определения функции. Это множество значений x, для которых функция определена. Например, если функция задана алгебраическим выражением, то необходимо определить значения x, при которых выражение имеет смысл.

2. Проверьте наличие точек разрыва функции. Точки разрыва могут быть следствием неопределенности выражения, деления на ноль или других особых случаев. Определите типы разрывов (скачок, разрыв первого рода, разрыв второго рода) и их местоположение на оси x.

3. Найдите производные функции. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Для нахождения производной используйте правила дифференцирования (правило суммы, правило произведения, правило цепочки и т.д.). Если функция имеет несколько переменных, используйте частные производные.

4. Определите интервалы возрастания и убывания функции. Для этого анализируйте знак производной на каждом интервале между точками разрыва и экстремумами функции. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна – функция убывает.

5. Найдите точки экстремума функции. Экстремумы – это точки, в которых функция достигает наибольшего или наименьшего значения. Для этого приравняйте производную к нулю и решите полученное уравнение для определения значений x.

6. Исследуйте выпуклость и вогнутость функции. Для этого анализируйте знак второй производной на каждом интервале между точками экстремумов и точками разрыва. Если вторая производная положительна, то функция выпукла, если отрицательна – функция вогнута.

7. Найдите точки перегиба функции. Точки перегиба – это точки, в которых меняется выпуклость функции. Для этого приравняйте вторую производную к нулю и решите полученное уравнение для определения значений x.

8. Постройте график функции. Используйте полученные результаты исследования для построения графика функции. Отметьте на графике точки разрыва, экстремумы и точки перегиба.