Question

Укажите точку экстремума функции (x) = 1/4 x^4 + 8x - 20

Answer 1

Y'=4x³/4+8=x³+8=(x+2)(x²-2x+4)=0
x=-2 y=4-16-20=-32

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции, нам необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. В данном случае, у нас есть функция \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 + 8x - 20\).

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции \(f'(x)\) по переменной \(x\):

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^4 + 8x - 20)\)

Производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\), где \(n\) - степень, поэтому:

\(f'(x) = (\frac{1}{4} \cdot 4x^3) + (8 \cdot 1) + (0 \cdot x^0)\)

Упрощая, получим:

\(f'(x) = x^3 + 8\)

Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\(x^3 + 8 = 0\)

Вычитаем 8 с обеих сторон:

\(x^3 = -8\)

Теперь возьмем кубический корень от обеих сторон:

\(x = \sqrt[3]{-8}\)

Так как -8 имеет комплексные корни, мы получаем три различных значения для \(x\):

\(x_1 = -2\), \(x_2 = 1 + i\sqrt{3}\), \(x_3 = 1 - i\sqrt{3}\)

Ответ

Таким образом, мы нашли три точки экстремума для функции \(f(x) = \frac{1}{4}x^4 + 8x - 20\): \(x = -2\), \(x = 1 + i\sqrt{3}\) и \(x = 1 - i\sqrt{3}\).