Question

Планируется взять у банка кредит в июле в размере 18 млн. Условия таковы: В январе на оставшуюся сумму начисляется процент, в виде 10% В марте нужно сделать определенную выплату. В следующий июль кредит должен быть (!!!) на одно и тоже количество меньше прошлого июля, и так каждый год. (При этом, выплаты не должны быть равными) Сколько лет займет выплата кредита, если известно, что со всеми переплатами было выплачено 27 млн рублей?

Answer 1

Пусть количество лет, на которые взят кредит - х, сумма кредита - С, тогда ежегодный платёж по основному долгу С/х.
Год     Долг                   Выплата                             Проценты
1           С                    С/х+С*0,1                                   0,1*С
2          С-С/х            С/х+(С-С/х))*0,1              0,1*(С-С/х)=0,1*С*(1-1/х)
3         С-2*С/х       С/х+(С-2*С/х)*0,1             0,1*(С-2*С/х)=0,1*С*(1-2/х)
4         С-3*С/х       С/х+(С-3*С/х)*0,1             0,1*(С-3*С/х)=0,1*С*(1-3/х)
и так далее
х        С-х*С/х     С/х+(С-(х-1)*С/х)*0,1     0,1*(С-(х-1)*С/х)=0,1*С*(1-(х-1)/х)
Выплата по процентам за х лет составила 27-18=9 млн. рублей
Посчитаем выплаченные проценты за х лет.
0,1*С+0,1*С*(1-1/х)+0,1*С(1-2/х)+0,1*С*(1-3/х)+...+0,1*С*(1-(х-1)/х)=9 млн.
0,1*С*(1+1-1/х+1-2/х+1-3/х+...+1-(х-1)/х)=9
1+1-1/х+1-2/х+1-3/х+...+1-(х-1)/х=9/0,1*18=5
Сложим единицы, их по одной на каждый год кредитования
х-(1/х+2/х+3/х+...+(х-1)/х)=5
1/х+2/х+3/х+...+(х-1)/х - арифметическая прогрессия
S=(а1+аn)*n/2=(1/х+(х-1)/х)*(х-1)/2=(х-1)/2
х-(х-1)/2=5 (*2)
2*х-х+1=10
х=9 лет срок кредитования

Answer 2

Для решения этой задачи используем формулу аннуитетных платежей и учитываем условия задачи:

1. Первоначальная сумма кредита: 18 млн руб. 2. Процентная ставка: 10% в год. 3. Ежегодная выплата: определенная сумма в марте каждого года. 4. Каждый год кредит должен быть на одно и то же количество меньше, чем в предыдущем году.

Обозначим: - \( P \) - ежегодная выплата - \( r \) - процентная ставка в долях (в данном случае, 0.1) - \( n \) - количество лет

Тогда формула аннуитетного платежа выглядит следующим образом:

\[ P = \frac{r \cdot S}{1 - (1 + r)^{-n}} \]

где \( S \) - сумма кредита.

Также мы знаем, что каждый год кредит должен быть на одно и то же количество меньше, чем в предыдущем году. Если предположить, что это количество - \( X \), то новая сумма кредита в каждом году можно выразить как:

\[ S_{нов} = S_{пред} - X \]

С учетом этого условия, мы можем записать:

\[ P = \frac{r \cdot (S_{пред} - X)}{1 - (1 + r)^{-n}} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. Выражение для ежегодного платежа \( P \) 2. Связь между текущей и предыдущей суммами кредита \( S_{нов} = S_{пред} - X \)

Мы знаем, что сумма всех выплат должна составлять 27 млн рублей. Таким образом, можем записать уравнение:

\[ P \cdot n = 27 \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для определения значения \( n \), то есть сколько лет потребуется на выплату кредита.