Question

Упростите выражение sin(n+a)/sin(n/2+a) и найдите значение при а=n/4

Answer 1

$\frac{sin( \pi + \alpha)}{sin( \frac{ \pi }{2} + \alpha)} = \frac{-sin( \alpha )}{cos( \alpha )}=-tg( \alpha )\\ -tg( \frac{ \pi }{4} ) = -1$

Answer 2

Давайте упростим выражение \(\frac{\sin(n+a)}{\sin\left(\frac{n}{2}+a\right)}\) при \(a = \frac{n}{4}\).

1. Подставим \(a = \frac{n}{4}\) в выражение:

\[ \frac{\sin\left(n + \frac{n}{4}\right)}{\sin\left(\frac{n}{2} + \frac{n}{4}\right)} \]

2. Общий знаменатель в обоих синусах - это \(\sin\left(\frac{n}{4}\right)\), поэтому можно его выделить:

\[ \frac{\sin\left(\frac{5n}{4}\right)}{\sin\left(\frac{3n}{4}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{n}{4} + n\right)}{\sin\left(\frac{n}{4} + \frac{n}{2}\right)} \]

3. Используем тригонометрический тождества для суммы углов:

\[ \frac{\sin\left(\frac{n}{4} + n\right)}{\sin\left(\frac{n}{4} + \frac{n}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{5n}{4}\right)}{\sin\left(\frac{3n}{4}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{n}{4}\right)\cos(n) + \cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin(n)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)} \]

4. Раскроем синус и косинус суммы углов в числителе и знаменателе:

\[ \frac{\sin\left(\frac{n}{4}\right)\cos(n) + \cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin(n)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)} = \frac{\sin\left(\frac{n}{4}\right)(\cos(n) + \sin(n))}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)} \]

5. Сократим \(\sin\left(\frac{n}{4}\right)\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{(\cos(n) + \sin(n))}{\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{\cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)}} \]

6. Вынесем \(\cos(n) + \sin(n)\) из числителя:

\[ \frac{\cos(n) + \sin(n)}{\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{\cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)}} = \frac{\cos(n) + \sin(n)}{\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{\cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)}} \]

Таким образом, упрощенное выражение для \(\frac{\sin(n+a)}{\sin\left(\frac{n}{2}+a\right)}\) при \(a = \frac{n}{4}\) равно \(\frac{\cos(n) + \sin(n)}{\cos\left(\frac{n}{2}\right) + \frac{\cos\left(\frac{n}{4}\right)\sin\left(\frac{n}{2}\right)}{\sin\left(\frac{n}{4}\right)}}\).