Question

В команде 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Наудачу выбирают двух спортсменов. Построить ряд распределения случайной величины – числа перворазрядников среди выбранных.

Answer 1

Тут проще всего вероятности посчитать через биноминальные коэффициенты. С из n по k = n!/(k! *(n-k)!)
У нас есть N предметов, из которых K - нужного нам типа. Мы хотим взять n предметов, из которых k будет нужного нам типа. Общее число исходов будет равно C из n по N. В нашем случае это С из 16 по 2, т.е.
16!/(2!*14!) = 15*16/2 = 15*8 = 120. Т.е. всего 120 вариантов. Далее мы ищем благоприятные исходы. Т.е. мы ищем, каким кол-вом способом мы можем выбрать k из K. C из к по К в нашем случае 0, 1 или 2 из 6.
С по 0 из 6 = 1
С по 1 из 6 = 6
С по 2 из 6 = 5*6/2 = 15
И одновременно с этим мы выбираем оставшееся количество предметов в текущей выборке из ненужных, т.е. 2 - 0 = 2, 2 - 1 = 1, 2 - 2 = 0.
С по 2 из 10 =  9*10/2 = 45
С по 1 из 10 =  10
С по 0 из 10 = 1

Подставляем все, что получилось в сводную таблицу.

Число перворазрядников              Вероятность
                   0                               1*45/120  = 0.375 или 37.5 процентов
                   1                                6*10/120 = 0.5 или 50 процентов
                   2                                 15 * 1/120 =   0.125 или 12.5 процентов

37.5 + 12.5 + 50 = 100 - т.е. все исходы учтены

Answer 2

Чтобы построить ряд распределения случайной величины, представим все возможные комбинации выбора двух спортсменов из 16. Затем определим количество перворазрядников в каждой из этих комбинаций.

Имеем команду из 16 спортсменов, из которых 6 перворазрядников. Если мы выбираем двух спортсменов наудачу, существует несколько возможных вариантов того, сколько из них будут перворазрядниками. Возможные варианты:

1. Оба выбранных спортсмена - перворазрядники. 2. Оба выбранных спортсмена - не перворазрядники. 3. Один из выбранных - перворазрядник, а второй - не перворазрядник. 4. Один из выбранных - не перворазрядник, а второй - перворазрядник.

Теперь рассмотрим вероятность каждого из этих вариантов:

1. Вероятность того, что оба выбранных спортсмена - перворазрядники: \(\frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\)

2. Вероятность того, что оба выбранных спортсмена - не перворазрядники: \(\frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\)

3. Вероятность того, что один из выбранных - перворазрядник, а второй - не перворазрядник: \(\frac{6}{16} \cdot \frac{10}{15} + \frac{10}{16} \cdot \frac{6}{15} = \frac{1}{4}\)

4. Вероятность того, что один из выбранных - не перворазрядник, а второй - перворазрядник: Та же вероятность, что и в предыдущем пункте (\(\frac{1}{4}\))

Теперь мы можем построить ряд распределения случайной величины, которая представляет собой число перворазрядников среди выбранных двух спортсменов:

\[ \begin{align*} X & : 0 & 1 & 2 \\ P(X) & : \frac{3}{8} & \frac{1}{4} & \frac{3}{8} \end{align*} \]

Где: - \(X\) - число перворазрядников среди выбранных двух спортсменов. - \(P(X)\) - вероятность значения \(X\).

Таким образом, распределение случайной величины \(X\) имеет биномиальный характер, и его можно представить в виде биномиального распределения с параметрами \(n = 2\) (число испытаний) и \(p = \frac{1}{4}\) (вероятность успеха в каждом испытании).