Question

Помогите, пожалуйста , решить sinx < 3cosx .

Answer 1

Решение
sinx < 3cosx  делим на cosx ≠ 0, x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z
tgx < 3
- π/2 + πk < x < arctj3 + πk, k ∈ Z

Answer 2

Для решения данного неравенства sin(x) < 3cos(x) мы можем использовать свойства и графики синуса и косинуса.

Шаг 1: Начнем с переформулирования неравенства, чтобы оно было более удобным для работы. Заменим косинус на синус, используя тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1: sin(x) < 3cos(x) sin(x) < 3√(1 - sin^2(x))

Шаг 2: Теперь представим неравенство в виде квадратного уравнения, чтобы мы могли решить его: sin^2(x) < 9(1 - sin^2(x)) 10sin^2(x) - 9 < 0

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую сторону и вынесем sin^2(x) за скобку: 10sin^2(x) - 9 + sin^2(x) < 0 11sin^2(x) - 9 < 0

Шаг 4: Разложим квадратное уравнение на множители: (√11sin(x) - 3)(√11sin(x) + 3) < 0

Шаг 5: Теперь мы можем использовать метод интервалов для определения, когда неравенство будет выполняться.

Учитывая, что sin(x) изменяется между -1 и 1, мы можем рассмотреть следующие случаи:

1. Когда (√11sin(x) - 3) < 0 и (√11sin(x) + 3) > 0, то есть -3/√11 < sin(x) < 3/√11. 2. Когда (√11sin(x) - 3) > 0 и (√11sin(x) + 3) < 0, то есть sin(x) < -3/√11 или sin(x) > 3/√11.

Шаг 6: Теперь мы можем найти значения x, удовлетворяющие каждому из этих случаев.

1. Когда -3/√11 < sin(x) < 3/√11: - Мы знаем, что sin(x) положителен в первом и втором квадрантах. Поэтому, чтобы найти интервалы, в которых выполняется это условие, мы можем использовать обратные функции синуса. Получим: - π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn - 7π/6 + 2πn < x < 11π/6 + 2πn, где n - целое число.

2. Когда sin(x) < -3/√11 или sin(x) > 3/√11: - Мы знаем, что sin(x) отрицателен в третьем и четвертом квадрантах. Поэтому, чтобы найти интервалы, в которых выполняется это условие, мы можем использовать обратные функции синуса. Получим: - 5π/6 + 2πn < x < 7π/6 + 2πn - 11π/6 + 2πn < x < π/6 + 2π(n+1), где n - целое число.

Итоговый ответ: Решение неравенства sin(x) < 3cos(x) представляет собой объединение двух интервалов: - π/6 + 2πn < x < 5π/6 + 2πn, где n - целое число. - 5π/6 + 2πn < x < 7π/6 + 2πn, где n - целое число. - 11π/6 + 2πn < x < π/6 + 2π(n+1), где n - целое число.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам решить данное неравенство. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!