Question

Решить: cos2x+cos8x=cos4x+cos6x

Answer 1

$2cos \frac{2x+8x}{2} cos \frac{2x-8x}{2} =2cos \frac{4x+6x}{2} cos \frac{4x-6x}{2} \\ cos 5x cos 3x =cos 5x cos x \\ cos 5x (cos 3x -cos x)=0$
cos5x = 0 или cos3x - cosx = 0
cos5x=0 или -2sin2xsin x=0
cos5x=0 или sin2x=0 или sinx = 0
$5x= \frac{ \pi }{2} + \pi k$ или $2x= \pi n$ или $x= \pi m$
$x= \frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi k}{5}$ или $x= \frac{ \pi n}{2}$ или $x= \pi m$
Если проанализировать данные три серии решений, то серия $\frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi k}{5}$ содержит в себе при некоторых n и m две другие серии, а поэтому и является ответом.
Ответ: $x= \frac{ \pi }{10} + \frac{ \pi k}{5} ,\ k \in Z$

Answer 2

Для решения уравнения \( \cos(2x) \cdot \cos(8x) = \cos(4x) \cdot \cos(6x) \), мы можем использовать тригонометрические тождества.

Заметим, что в данном уравнении присутствуют произведения косинусов сумм и разности углов. Мы можем воспользоваться следующими тригонометрическими формулами:

1. \(\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\) 2. \(\cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b\)

Применим эти формулы к данному уравнению.

Исходное уравнение: \[ \cos(2x) \cdot \cos(8x) = \cos(4x) \cdot \cos(6x) \]

Применим формулу \(\cos(a+b)\) для \( \cos(2x) \cdot \cos(8x) \): \[ (\cos(2x + 8x) + \sin(2x + 8x)) = \cos(4x) \cdot \cos(6x) \]

Раскроем скобки: \[ (\cos(10x) + \sin(10x)) = \cos(4x) \cdot \cos(6x) \]

Теперь применим формулу \(\cos(a-b)\) для \(\cos(4x) \cdot \cos(6x)\): \[ (\cos(10x) + \sin(10x)) = (\cos(4x - 6x) + \sin(4x - 6x)) \]

Раскроем скобки: \[ (\cos(10x) + \sin(10x)) = (\cos(-2x) + \sin(-2x)) \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\cos(-\theta) = \cos(\theta)\) и \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\): \[ (\cos(10x) + \sin(10x)) = (\cos(2x) - \sin(2x)) \]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить: \[ \cos(10x) + \sin(10x) = \cos(2x) - \sin(2x) \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ \cos(10x) + \sin(10x) - \cos(2x) + \sin(2x) = 0 \]

Теперь можно попытаться преобразовать это уравнение и найти значения \(x\). Однако, уравнение выглядит достаточно сложным, и его решение может потребовать использование численных методов или специализированного программного обеспечения.