Question

Найти точки перегиба функции y=x^3 - 2x^2 + 2

Answer 1

Решение данного задания

Answer 2

Для того чтобы найти точки перегиба функции y = x^3 - 2x^2 + 2, нужно найти вторую производную этой функции и найти значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует. Точки, где вторая производная меняет знак, будут точками перегиба.

Давайте начнем с вычисления первой и второй производных функции.

Вычисление первой производной:

Для функции y = x^3 - 2x^2 + 2, найдем первую производную, используя правило степенной функции и правило суммы производных:

y' = 3x^2 - 4x

Вычисление второй производной:

Теперь возьмем производную от первой производной, чтобы найти вторую производную:

y'' = (3x^2 - 4x)' = 6x - 4

Нахождение точек перегиба:

Теперь установим вторую производную равной нулю и решим уравнение:

6x - 4 = 0

6x = 4

x = 4/6 = 2/3

Таким образом, x = 2/3 является значением x, при котором вторая производная равна нулю.

Проверка изменения знака второй производной:

Теперь нам нужно проверить, как меняется знак второй производной в окрестности x = 2/3, чтобы определить, является ли эта точка точкой перегиба. Для этого выберем значения x, меньшие и большие чем 2/3, и подставим их во вторую производную:

1. При x = 1: y''(1) = 6(1) - 4 = 6 - 4 = 2 (положительное)

2. При x = 2: y''(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8 (положительное)

3. При x = 3/2: y''(3/2) = 6(3/2) - 4 = 9 - 4 = 5 (положительное)

Таким образом, в окрестности x = 2/3 значение второй производной положительно. Это означает, что точка x = 2/3 является точкой перегиба функции y = x^3 - 2x^2 + 2.

Ответ:

Таким образом, точка перегиба функции y = x^3 - 2x^2 + 2 находится при x = 2/3.