Question

Вычислить площадь области ограниченной графиками функций:y=x^2+3x+1y=1-x.Спасибо.

Answer 1

$\int\limits^0_{-4} {(1-x-x^{2}-3x-1) } \, dx =\int\limits^0_{-4} {(-x^{2}-4x) } \, dx =$
=$- \frac{x^{3} }{3} | -4 \frac{x^{2} }{2} | =-64/3 + 64/2 = 32/3$

Answer 2

Для вычисления площади области, ограниченной графиками функций y = x^2 + 3x + 1 и y = 1 - x, необходимо найти точки их пересечения, а затем найти площадь между этими графиками.

Для начала найдем точки пересечения функций. Приравняв уравнения, получим:

x^2 + 3x + 1 = 1 - x

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 + 4x = 0

x(x + 4) = 0

Таким образом, имеем две точки пересечения: x = 0 и x = -4.

Теперь вычислим значения y для каждой из функций в найденных точках:

Для y = x^2 + 3x + 1:

y(0) = (0)^2 + 3(0) + 1 = 1

y(-4) = (-4)^2 + 3(-4) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2

Для y = 1 - x:

y(0) = 1 - (0) = 1

y(-4) = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5

Таким образом, точки пересечения графиков функций находятся в точках (0, 1) и (-4, -2) для функции y = x^2 + 3x + 1, и (0, 1) и (-4, 5) для функции y = 1 - x.

Теперь найдем площадь области между этими двумя графиками. Для этого необходимо вычислить определенный интеграл от разности функций на интервале между точками пересечения:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - координаты точек пересечения.

В нашем случае a = -4, b = 0, f(x) = x^2 + 3x + 1, g(x) = 1 - x.

Таким образом, площадь области ограниченной графиками функций y = x^2 + 3x + 1 и y = 1 - x равна:

S = ∫[-4, 0] [(x^2 + 3x + 1) - (1 - x)] dx

S = ∫[-4, 0] (x^2 + 3x + 1 + x - 1) dx

S = ∫[-4, 0] (x^2 + 4x) dx

S = [1/3 * x^3 + 2x^2] [-4, 0]

S = [1/3 * 0^3 + 2 * 0^2] - [1/3 * (-4)^3 + 2 * (-4)^2]

S = [0] - [1/3 * (-64) + 2 * 16]

S = 0 - (-64/3 + 32)

S = 64/3 - 32/3

S = 32/3

Таким образом, площадь области ограниченной графиками функций y = x^2 + 3x + 1 и y = 1 - x равна 32/3 (около 10.67).