Question

75 БАЛЛОВ! Найдите сумму значений параметра a , при которых сумма квадратов корней уравнения x2 - 2ax + 2 * (a + 1) = 0 равна 20?

Answer 1

D = 4a² - 8a - 8 ≥ 0

a² - 2a - 2 ≥ 0
D = 4 + 8 = 12
a1 = (2 - 2√3)/2 = 1 - √3
a1 = 1 + √3

т.е. а ∈ (-∞; 1 - √3) U (1 + √3; +∞)

по теореме Виета:

x1 + x2 = 2a
x1*x2 = 2a + 2

x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1 * x2 = 4a² - 4a - 4 = 20

a² - a - 1 - 5 = 0
a² - a - 6 = 0
D = 1 + 24 = 25
a1 = (1-5)/2 = -2
a2 = (1+5)/2 = 3

сумма значений: -2 + 3 = 1

Ответ: 1

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение внимательно:

\[ x^2 - 2ax + 2(a+1) = 0 \]

Мы хотим найти сумму значений параметра \( a \), при которых сумма квадратов корней этого уравнения равна 20.

Корни уравнения можно найти, решив квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -2a \), и \( c = 2(a+1) \). Используем формулу для нахождения корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(1)(2(a+1))}}{2(1)} \]

\[ x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 8(a+1)}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 8a - 8}}{2} \]

\[ x_{1,2} = \frac{2a \pm \sqrt{4(a^2 - 2a - 2)}}{2} \]

\[ x_{1,2} = a \pm \sqrt{a^2 - 2a - 2} \]

Теперь, сумма квадратов корней:

\[ (a + \sqrt{a^2 - 2a - 2})^2 + (a - \sqrt{a^2 - 2a - 2})^2 \]

\[ = a^2 + 2a\sqrt{a^2 - 2a - 2} + a^2 - 2a\sqrt{a^2 - 2a - 2} + a^2 - 2a - 2 \]

\[ = 2a^2 - 2a - 2 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ 2a^2 - 2a - 2 = 20 \]

\[ 2a^2 - 2a - 22 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 2 \), \( b = -2 \), и \( c = -22 \).

\[ a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-22)}}{2(2)} \]

\[ a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 176}}{4} \]

\[ a = \frac{2 \pm \sqrt{180}}{4} \]

\[ a = \frac{2 \pm 6\sqrt{5}}{4} \]

Таким образом, у нас есть два значения \( a \):

\[ a_1 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2} \]

\[ a_2 = \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2} \]

Сумма этих двух значений:

\[ a_1 + a_2 = \frac{1 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{1 - 3\sqrt{5}}{2} \]

\[ = 1 \]

Итак, сумма значений параметра \( a \), при которых сумма квадратов корней уравнения равна 20, равна 1.