Question

Вычислить предел функции: lim x стремится к бесконечности (х+1)^10(x^2+1)/(3x+1)^2(x+5)^5(x-1)^5

Answer 1

$\lim\limits _{x \to \infty} \frac{(x+1)^{10}(x^2+1)}{(3x+1)^2((x+5)^5(x-1)^5} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^{10}\cdot x^2}{9x^2\cdot x^5\cdot x^5} = \lim\limits _{x \to \infty} \frac{x^{12}}{9x^{12}} =\frac{1}{9}$

Answer 2

Для вычисления предела функции, данной в вашем вопросе, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя или другими методами анализа пределов функций. Однако, в данном случае, функция имеет многочлены в числителе и знаменателе, что облегчает вычисление предела.

Итак, у нас дана функция:

f(x) = (x+1)^10 * (x^2+1) / [(3x+1)^2 * (x+5)^5 * (x-1)^5]

Для вычисления предела этой функции при x стремящемся к бесконечности, мы можем проанализировать поведение каждого члена в числителе и знаменателе отдельно.

Анализ числителя:

(x+1)^10 * (x^2+1)

Поскольку степень полинома в числителе выше, чем в знаменателе, числитель будет расти быстрее, чем знаменатель при стремлении x к бесконечности. Таким образом, числитель будет доминировать в пределе.

Анализ знаменателя:

(3x+1)^2 * (x+5)^5 * (x-1)^5

Поскольку степень полинома в знаменателе выше, чем в числителе, знаменатель будет расти быстрее, чем числитель.

Теперь мы можем записать предел функции в следующем виде:

lim(x->∞) [f(x)] = lim(x->∞) [(x+1)^10 * (x^2+1)] / [(3x+1)^2 * (x+5)^5 * (x-1)^5]

Так как числитель доминирует, а знаменатель растет быстрее, мы можем проигнорировать все члены в знаменателе, кроме члена с наибольшей степенью, то есть (x+5)^5.

Теперь предел функции можно записать следующим образом:

lim(x->∞) [f(x)] = lim(x->∞) [(x+1)^10 * (x^2+1)] / [(x+5)^5]

Чтобы продолжить вычисления, можно воспользоваться правилом раскрытия скобок и сокращения подобных слагаемых в числителе и знаменателе. Однако, это может быть довольно трудоемким процессом.

К счастью, в данном случае, мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет нам вычислить предел отношения двух функций, если оба предела числителя и знаменателя равны бесконечности или нулю.

Применим правило Лопиталя к нашей функции:

lim(x->∞) [f(x)] = lim(x->∞) [10(x+1)^9 * (x^2+1) + 2x(x+1)^10] / [5(x+5)^4 * (x+1)^10]

Упростим выражение:

lim(x->∞) [f(x)] = lim(x->∞) [10(x+1)^9 * (x^2+1) + 2x(x+1)^10] / [5(x+5)^4 * (x+1)^10] = lim(x->∞) [10(x+1) * (x^2+1)/(x+5)^4]

Теперь, подставляя x = ∞ в полученное выражение, мы можем вычислить предел:

lim(x->∞) [f(x)] = 10(∞+1) * (∞^2+1)/(∞+5)^4 = 10 * (∞^2) / (∞^4) = 10 / (∞^2) = 0

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен 0.