Question

Мы проходили темы признаки возрастания и убывания функции и иследование функции на макc и мин) Найти мак и мин точку функции (функцию строить необязательно) 1) y=5+12x-x^3 2) y=7x^2-2x+4 3) x^3 -4x+8 4) y= -x^3+3x-2

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Экстремумы в корнях первой производной.
1)
Y'(x) = - 3*x² + 12 = -3*(x²-4)= - 3*(x-2)*(x+2)
Ymin(-2) = - 11 , Ymax(2) = 21 - ОТВЕТ
2)
Y'(x) = 14*x-2 = 0
x = 1/7
Ymin(1/7) = 3.857 - ОТВЕТ
3)
Y'(x) = 3*x² - 4 = x² - 4/3 = (x- 2/√3)*(x+2/√3)
Ymin = 4.921, Ymax = 11.079 - ОТВЕТ

4)
Y'(x) = -3*x² + 3 = - 3*(x-1)*(x+1)
Ymin = -4, Ymax = 0 - ОТВЕТ

Answer 2

Чтобы найти точки максимума и минимума функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем найденные значения подставить в исходную функцию, чтобы получить соответствующие значения y.

1) y = 5 + 12x - x^3 Для нахождения точек максимума и минимума найдем производную функции: y' = 12 - 3x^2 Приравняем производную к нулю: 12 - 3x^2 = 0 3x^2 = 12 x^2 = 4 x = ±2 Подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: y(2) = 5 + 12(2) - (2)^3 = 5 + 24 - 8 = 21 y(-2) = 5 + 12(-2) - (-2)^3 = 5 - 24 + 8 = -11 Таким образом, точки максимума и минимума функции y = 5 + 12x - x^3 равны (2, 21) и (-2, -11) соответственно.

2) y = 7x^2 - 2x + 4 Производная функции: y' = 14x - 2 Приравниваем производную к нулю: 14x - 2 = 0 14x = 2 x = 2/14 = 1/7 Подставляем найденное значение x в исходную функцию: y(1/7) = 7(1/7)^2 - 2(1/7) + 4 = 7/49 - 2/7 + 4 = 7/49 - 14/49 + 196/49 = 189/49 = 27/7 Таким образом, точка максимума функции y = 7x^2 - 2x + 4 равна (1/7, 27/7).

3) y = x^3 - 4x + 8 Производная функции: y' = 3x^2 - 4 Приравниваем производную к нулю: 3x^2 - 4 = 0 3x^2 = 4 x^2 = 4/3 x = ±√(4/3) = ±(2/√3) = ±(2√3/3) Подставляем найденные значения x в исходную функцию: y(2√3/3) = (2√3/3)^3 - 4(2√3/3) + 8 = (8√3/27) - (8√3/3) + 8 = 8/27 - 8/3 + 8 = -40/27 y(-2√3/3) = (-2√3/3)^3 - 4(-2√3/3) + 8 = (-8√3/27) + (8√3/3) + 8 = -8/27 + 8/3 + 8 = 64/27 Таким образом, точки максимума и минимума функции y = x^3 - 4x + 8 равны (2√3/3, -40/27) и (-2√3/3, 64/27) соответственно.

4) y = -x^3 + 3x - 2 Производная функции: y' = -3x^2 + 3 Приравниваем производную к нулю: -3x^2 + 3 = 0 -3x^2 = -3 x^2 = 1 x = ±1 Подставляем найденные значения x в исходную функцию: y(1) = -(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 Таким образом, точки максимума и минимума функции y = -x^3 + 3x - 2 равны (1, 0) и (-1, -4) соответственно.