Question

1. Докажите, что F(x) = х4 - 3sin x является перво­образной для f(x) = 4х3 - 3cos х

Answer 1

 F(x) = х⁴ - 3sin x является перво­образной для f(x) = 4х³ - 3cos х
 F'(x) = (х⁴ - 3sinx)' = (х⁴)' - (3sinx)' = 4x³ - 3cosх, ч.т.д.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция F(x) = x^4 - 3sin(x) является первообразной для функции f(x) = 4x^3 - 3cos(x), мы должны убедиться, что F'(x) = f(x).

Для начала, найдем производную функции F(x):

F'(x) = d/dx (x^4 - 3sin(x))

Для нахождения производной сложной функции, нам нужно применить правило дифференцирования для каждого слагаемого.

Производная x^4 равна 4x^3 (применяем правило степенной функции).

Производная -3sin(x) равна -3cos(x) (применяем правило дифференцирования синуса).

Теперь, найдем производную функции f(x):

f(x) = 4x^3 - 3cos(x)

f'(x) = d/dx (4x^3 - 3cos(x))

Производная 4x^3 равна 12x^2 (применяем правило степенной функции).

Производная -3cos(x) равна 3sin(x) (применяем правило дифференцирования косинуса).

Итак, мы получили, что производная функции F(x) равна F'(x) = 4x^3 - 3cos(x) = f(x).

Таким образом, функция F(x) = x^4 - 3sin(x) является первообразной для функции f(x) = 4x^3 - 3cos(x).