Question

Дана трапеция с основаниями длины 1 и 7. Одна окружность вписана в эту трапецию, а другая окружность описана около этой трапеции. Найдите радиус описанной окружности.

Answer 1

Трапеция АВСД. ВС=1, АД=7
Если вокруг трапеции описана окружность, то трапеция является равнобедренной. (∠А+∠С=∠В+∠Д)
Если в трапецию вписана окружность, то ВС+АД=АВ+СД, а так как трапеция равнобедренная, то АВ=СД=(ВС+АД)/2=(1+7)/2=4
Проведём диагональ АС и опустим высоту СН на основание АД.
НД=(АД-ВС)/2=(7-1)/2=3
По теореме Пифагора СН=√(СД²-НД²)=√(4²-3²)=√7
Рассмотрим ▲АСН, АН=АД-НД=7-3=4  АС=√(4²+√7²)=√23≈4,8
R=(АВ*АС*АД)/(4*√(р*(р-АД)*(р-АВ)*(р-АС)
р=(АВ+АС+АД)/2=(4+4,8+7)/2=7,9
R=(4*4,8*7)/(4*√7,9*(7,9-4)*(7,9-4,8)*(7,8-7))=134,4/35=3,84 - радиус описанной окружности.

Answer 2

Решение:

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства окружностей, вписанных и описанных около фигур.

Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех сторон фигуры.

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины фигуры.

Для данной задачи, у нас есть трапеция с основаниями длины 1 и 7. Предположим, что вершина трапеции, соответствующая более короткому основанию, находится слева.

Пусть точка O обозначает центр вписанной окружности, а точка O' - центр описанной окружности.

Шаг 1: Поскольку вписанная окружность касается всех сторон трапеции, она будет касаться стороны, соединяющей две вершины трапеции. Давайте обозначим эту точку касания как A.

Шаг 2: Поскольку описанная окружность проходит через все вершины трапеции, она будет проходить через вершину трапеции, соответствующую более длинному основанию. Давайте обозначим эту точку как B.

Шаг 3: Также, поскольку описанная окружность проходит через вершины трапеции и центр описанной окружности (точка O'), радиус описанной окружности будет равен расстоянию от центра окружности до вершины трапеции. Обозначим эту длину как r.

Шаг 4: Теперь, давайте рассмотрим треугольник AOB, где A и B - вершины трапеции, а O - центр описанной окружности. Треугольник AOB является прямоугольным треугольником, поскольку его стороны являются радиусами окружностей.

Шаг 5: Мы знаем, что сторона AO равна радиусу вписанной окружности и равна полусумме оснований трапеции. То есть, AO = (1+7)/2 = 4.

Шаг 6: Также, сторона BO равна радиусу описанной окружности и равна сумме оснований трапеции. То есть, BO = 1 + 7 = 8.

Шаг 7: Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны AB: AB^2 = AO^2 + BO^2 AB^2 = 4^2 + 8^2 AB^2 = 16 + 64 AB^2 = 80

Шаг 8: Теперь мы можем найти длину стороны AB, возведя в квадрат обе стороны уравнения: AB = √80 AB = 4√5

Шаг 9: Так как треугольник AOB - прямоугольный, мы можем использовать связь между сторонами прямоугольного треугольника и радиусами окружностей: AO * BO = AB * r

Шаг 10: Подставляя известные значения: 4 * 8 = 4√5 * r

Шаг 11: Упрощая уравнение: 32 = 4√5 * r

Шаг 12: Делим обе стороны на 4√5, чтобы найти значение r: r = 32 / (4√5) r = 8 / √5 r = 8√5 / 5

Таким образом, радиус описанной окружности составляет 8√5 / 5.